[논문 리뷰] Fixed Point Theorems for Hypersequences and the Foundation of Generalized Differential Geometry I: The Simplified Algebra

S. O. Juriaans, J. Oliveira|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 01.

Mathematical and Theoretical Analysis인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 분포 곱을 포함한 미분방정식의 존재성과 유일성을 보장하기 위해 콜롬베아 일반화 함수에서 초수열에 대한 기본 고정점 정리들을 수립한다. 고전적 미분기하학을 확장하는 일반화된 미분법을 도입하여, 고전적 다양체가 일반화된 다양체에 이산적으로 통합되며, 대수적 연관성은 대수적 개념이 아니라 위상적 개념임을 보여준다.

ABSTRACT

Fixed point theorems are one of the many tools used to prove existence and uniqueness of differential equations. When the data involved contains products of distributions, some of these tools may not be useful. Thus rises the necessity to develop new environments and tools capable of handling such situations. The foundations of a Generalized Differential Geometry is set having Classical Differential Geometry as a discontinuous subcase, a fixed point theorem for hypersequences is proved in the context of Colombeau Generalized Functions and it is shown how it can be used to obtain existence and uniqueness of differential equations whose data involve products of distributions. Thus also setting the foundations of a Generalized Analysis. The strain is also picked up setting the foundations of generalized manifolds and shown that each classical manifold can be discretely embedded in a generalized manifold in such a way that the differential structure of the latter is a natural extension of the differential structure of the former. It is inferred that $\ {\cal{D}}^{\prime}(Ω)$ is discretely embedded in $\ {\cal{G}}(Ω)$, that the elements of $\ C^{\infty}(Ω)$ form a grid of equidistant points in $\ {\cal{G}}(Ω)$ and that association in $\ {\cal{G}}(Ω)$ is a topological and not an algebraic notion. Ergo, classical solutions to differential equations are scarce. These achievements reckoned upon the Generalized Differential Calculus invented by the first author and his collaborators. Hopefully, Generalized Differential Calculus and the developments presented in this paper, may be of interest to those working in Analysis, Applied Mathematics, Geometry and Physics.

연구 동기 및 목표

• 분포의 곱을 포함한 미분방정식을 해결하기 위해 콜롬베아 일반화 함수 대수 내에서 내재된 고정점 정리를 개발하는 것.
• 고전적 미분법을 확장하기 위한 일반화된 미분기하학의 기초로 일반화된 미분법을 수립하는 것.
• 고전적 다양체가 일반화된 다양체에 이산적으로 통합될 수 있으며, 그 미분 구조가 유지되고 확장됨을 보여주는 것.
• 콜롬베아 대수 G(Ω)에서의 연관성이 대수적 개념이 아니라 위상적 개념임을 명확히 하여 고전적 해의 희귀성에 대한 도전을 제기하는 것.
• 일반화된 분석과 기하학의 기초를 다지기 위해 일반화된 설정에서 핵심 정리들(역함수, 은둔함수 등)을 증명하는 것.

제안 방법

• 콜롬베아 대수의 맥락에서 초수열을 도입하여 수렴성과 고정점 추론을 일반화하는 것.
• 이전 연구에서 개발된 일반화된 미분법을 적용하여 일반화된 다양체 위에서 미분 가능성, 역함수, 은둔함수를 정의하는 것.
• G(Ω)의 대수적 구조와의 호환성을 보장하기 위해 보다 정교한 버전인 샤프탑ولوج리(Shark topology)를 사용하는 것.
• 일반화된 도함수를 통해 정의되는 R^n의 열린 부분집합을 값으로 갖는 국소 차트를 통해 일반화된 다양체를 구성하는 것.
• 임bedding 정리를 활용하여 R^n이 R^n에 이산적으로 통합됨을 보이며, 고전적 시공간이 등간격 점들의 격자로 간주됨을 나타내는 것.
• 일반화된 설정에서 은둔함수 정리를 적용하여 정규값의 역상이 일반화된 부분다양체임을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콜롬베아 대수 내에서 고정점 정리를 내재적으로 개발하여 분포 곱을 포함한 미분방정식을 해결할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 미분기하학은 고전적 미분기하학의 일관된 확장으로 어떻게 구성될 수 있는가?
• RQ3 고전적 다양체가 일반화된 다양체에 통합되는 방식은 무엇이며, 그들의 미분 구조는 어떻게 유지되는가?
• RQ4 콜롬베아 대수 G(Ω)에서의 연관성은 대수적 개념인지 위상적 개념인지이며, 고전적 해에 대한 함의는 무엇인가?
• RQ5 일반화된 설정에서 정규값의 역상이 일반화된 부분다양체가 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 콜롬베아 대수에서 초수열에 대한 고정점 정리가 수립되어 분포 곱을 포함한 미분방정식의 존재성과 유일성 결과를 도출할 수 있다.
• 고전적 다양체는 일반화된 다양체에 이산적으로 통합되며, 일반화된 미분 구조가 고전적 구조를 확장한다.
• 공간 D′(Ω)는 G(Ω)에 이산적으로 통합되며, C∞(Ω)는 G(Ω)에서 등간격 점들의 격자로 나타나 시공간의 이산적 구조를 시사한다.
• G(Ω)에서의 연관성은 대수적 개념이 아니라 위상적 개념이므로, 고전적 해는 드물며 대수적으로 정의될 수 없다.
• 일반화된 다양체는 일반화된 역함수 정리, 은둔함수 정리, 국소 임bedding 정리의 일반화된 형태를 만족한다.
• 일반화된 다양체의 예로는 유계 미분계수를 갖는 C∞ 함수의 그래프, 구, 그리고 점의 홀로(하이라이트)가 있으며, 후자는 고전적 다양체가 아니다.