[논문 리뷰] Fixed point theorems for Kannan type mappings with applications to split feasibility and variational inequality problems

Vasile Berinde, Mădălina Pačurar|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 05.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에서의 비연속 고정점 수축을 允許하는 칸단 및 비확장 사상의 일반화인 강화된 칸단 및 강화된 비앙키니 사상들을 도입한다. 이는 고정점 근사에 대해 크라스노셀스키 유형의 반복 알고리즘이 강수렴함을 증명하고, 유일한 해와 강수렴을 보장하는 분할 가능성 및 변분부등식 문제에 이를 적용함으로써 이전의 약수렴 결과들을 개선한다.

ABSTRACT

The aim of this paper in to introduce a large class of mappings, called {\it enriched Kannan mappings}, that includes all Kannan mappings and some nonexpansive mappings. We study the set of fixed points and prove a convergence theorem for Kransnoselskij iteration used to approximate fixed points of enriched Kannan mappings in Banach spaces. We then extend further these mappings to the class of enriched Bianchini mappings. Examples to illustrate the effectiveness of our results are also given. As applications of our main fixed point theorems, we present two Kransnoselskij projection type algorithms for solving split feasibility problems and variational inequality problems in the class of enriched Kannan mappings and enriched Bianchini mappings, respectively.

연구 동기 및 목표

• 크라스노셀스키 평균화를 통해 칸단 및 비확장 사상을 더 넓은 수축 사상의 클래스로 일반화하기 위해.
• 강화된 칸단 및 강화된 비앙키니 사상에 대해 바나흐 공간에서 크라스노셀스키 반복의 강수렴 정리를 수립하기 위해.
• 분할 가능성 및 변분부등식 문제에 대해 강수렴을 보장하는 새로운 투영형 알고리즘을 개발하기 위해.
• 이러한 새로운 사상들이 고정점이 유일하고 기존의 약수렴 결과들을 초월함을 보여주기 위해.

제안 방법

• a∈[0,1/2) 및 k∈[0,∞)에 대해 불등식 ||k(x−y)+Tx−Ty|| ≤ a[||x−Tx|| + ||y−Ty||]를 통해 (k,a)-강화된 칸단 사상들을 도입한다.
• 모든 (k,a)-강화된 칸단 사상은 고유한 고정점을 가지며, λ∈(0,1]에 대해 Krasnoselskij 반복 x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n이 그 고정점으로 강수렴함을 증명한다.
• 더 일반적인 수축적 구조를 가진 유사한 불등식을 통해 (k,a)-강화된 비앙키니 사상의 클래스를 확장한다.
• 이러한 사상들을 사용하여 분할 가능성 및 변분부등식 문제에 대한 크라스노셀스키 투영형 알고리즘을 구축한다.
• 수렴 정리를 적용하여, 관련 연산자가 강화된 칸단 또는 강화된 비앙키니 사상이라면 알고리즘이 강수렴함을 보인다.
• 투영 연산자 P_C와 CQ 알고리즘 프레임워크를 사용하지만, 비확장 사상을 강화된 칸단/비앙키니 사상으로 대체함으로써 고유성과 강수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 칸단 유형의 수축은 비확장 및 비연속 사상들을 포함하면서도 고정점 수렴을 유지할 수 있는가?
• RQ2 바나흐 공간에서 강화된 칸단 사상에 대해 크라스노셀스키 반복은 강수렴하는가?
• RQ3 강화된 칸단 사상은 분할 가능성 문제에서 기존의 약수렴 결과를 대체하여 강수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ4 강화된 비앙키니 사상은 변분부등식 문제에서 고유한 해와 강수렴을 유도하는가?
• RQ5 크라스노셀스키 알고리즘은 비연속 사상을 사용하여 분할 가능성 및 변분부등식 문제를 강수렴으로서 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 (k,a)-강화된 칸단 사상은 바나흐 공간에서 고유한 고정점을 가지며, 임의의 초기점에 대해 크라스노셀스키 반복이 그 고정점으로 강수렴한다.
• λ∈(0,1]에 대해 Krasnoselskij 반복 x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n은 선형적으로 고정점으로 수렴하며, 어떤 δ∈(0,1)에 대해 오차 bound ||x_{n+i−1}−p|| ≤ δ^{n}||x_0−p||를 만족한다.
• 분할 가능성 문제(SFP)는 연산자 T = P_C(I−γA*(I−P_Q)A)가 (k,a)-강화된 칸단 사상일 경우 고유한 해를 가지며, 임의의 x_0∈C에 대해 알고리즘 x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n이 그 해로 강수렴한다.
• 변분부등식 문제에 대해, T = P_C(I−γG)가 (k,a)-강화된 비앙키니 사상이라면, Krasnoselskij 알고리즘 x_{n+1} = (1−λ)x_n + λTx_n는 임의의 x_0∈C에 대해 고유한 해로 강수렴한다.
• 기존의 비확장 사상 대신 강화된 칸단/비앙키니 사상을 사용함으로써, 이전의 약수렴 결과들을 개선하였으며, 이는 해의 고유성과 강수렴을 보장한다. 이전 방법들은 오직 약수렴만을 보장하였다.
• 예시들은 이 클래스가 비연속 사상(예: [0,1]에서 T(x)=1−x)을 포함함을 보여주며, 이러한 사상들은 칸단이나 비확장 사상이 아니지만 강화된 칸단 사상에 속한다. 이는 이 클래스의 일반성과 넓이를 입증한다.