[논문 리뷰] Fixed point theorems for Meir-Keeler type contractions in metric spaces

Mortaza Abtahi|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 05.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 20인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 완비 거리공간에서 Meir-Keeler 유형의 수렴성에 대한 Picard 반복이 코시 수열임을 간단히 증명하기 위해 새로운 보조정리를 제안한다. 이 기준을 적용함으로써 저자는 Proinov 및 Suzuki의 고정점 정리들을 포함한 여러 고정점 정리들에 대해 간결하고 통합된 증명을 제시하며, Meir-Keeler 유형의 점점 수렴하는 수축에 대한 새로운 결과를 확립한다.

ABSTRACT

We establish a simple and powerful lemma that provides a criterion for sequences in metric spaces to be Cauchy. Using the lemma, it is then easily verified that the Picard iterates $\{T^nx\}$, where $T$ is a contraction or asymptotic contraction of Meir-Keeler type, are Cauchy sequences. As an application, new and simple proofs for several known results on the existence of a fixed point for continuous and asymptotically regular self-maps of complete metric spaces satisfying a contractive condition of Meir-Keeler type are derived. These results include the remarkable fixed point theorem of Proinov in [Petko D. Proinov, Fixed point theorems in metric spaces, Nonlinear Anal. extbf{46} (2006) 546--557], the fixed point theorem of Suzuki for asymptotic contractions in [Tomonari Suzuki, A definitive result on asymptotic contractions, J. Math. Anal. Appl. extbf{335} (2007) 707--715], and others. We also prove some new fixed point theorems.

연구 동기 및 목표

• 거리공간 내 수열이 코시임을 보일 수 있는 일반 기준을 수립하여 고정점 분석을 단순화한다.
• 완비 거리공간에서 Meir-Keeler 유형 수축에 대한 기존 고정점 정리의 증명을 통합하고 단순화한다.
• 고정점 결과의 적용 범위를 Meir-Keeler 유형의 점점 수렴하는 수축으로 확장한다.
• 일반화된 수축 조건을 만족하는 연속적이고 점점 정규인 자기사상에 대해 새로운 고정점 정리를 증명한다.
• 마지재 정의된 점점 수렴성(Suzuki의 정의)이 완비성 조건 하에서 더 넓은 범주인 점점 수렴성 m-수축의 클래스와 동치임을 보인다.

제안 방법

• 특정 부등식을 만족하는 함수 m(x,y)를 사용하여 수열이 코시임을 보장하는 충분조건을 제시하는 새로운 보조정리를 제안한다.
• 이 보조정리를 적용하여 T가 Meir-Keeler 또는 점점 수렴성 Meir-Keeler 수축일 경우, Picard 반복 {T^n x}가 코시 수열임을 보인다.
• 이 보조정리를 사용하여 Proinov의 정리와 Suzuki의 정리와 같은 기존 고정점 정리에 대해 단순하고 통합된 증명을 유도한다.
• 조건 (2.3)을 만족하는 함수 m(x,y)를 도입하여 점점 수렴성 m-수축을 정의한다.
• m이 (2.3)을 만족하고 T가 점점 수렴성 m-수축일 경우, {T^n x}가 코시 수열임을 증명한다.
• 모든 x ∈ X에 대해 m이 (2.3)을 만족하는 점점 수렴성 m-수축은 최종 형태의 점점 수렴성(즉, Suzuki의 정의)임을 보이며, 이로써 이론을 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 직접적인 에프실론-델타 추정에 의존하지 않고, 거리공간에서 Picard 반복이 코시 수열임을 확인할 수 있는 일반 기준을 개발할 수 있는가?
• RQ2 Meir-Keeler 유형 수축에 대한 기존 고정점 정리를 통합적인 분석 도구를 통해 더 단순하게 유도할 수 있는가?
• RQ3 점점 수렴성 m-수축의 범주와 Suzuki의 최종 정의된 점점 수렴성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 m가 (2.3)을 만족하는 점점 수렴성 m-수축일 때, Picard 반복이 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 함수 m(x,y)를 더 일반적인 형태로 확장함으로써 새로운 고정점 정리를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 보조정리는 특정 균일 연속성 유사 부등식을 만족하는 함수 m(x,y)를 바탕으로 수열이 코시임을 보일 수 있는 충분조건을 제공한다.
• 이 보조정리는 Meir-Keeler 유형 수축에 대해 Picard 반복 {T^n x}가 코시 수열임을 직접적이고 단순하게 검증할 수 있도록 한다.
• 동일한 보조정리를 사용하여 Proinov의 고정점 정리와 Suzuki의 점점 수렴성 결과에 대해 새로운 간결한 증명을 도출한다.
• 논문은 m가 모든 x ∈ X에 대해 (2.3)을 만족할 경우, 점점 수렴성 m-수축은 Suzuki의 최종 정의에 따라 정의된 점점 수렴성임을 증명한다.
• 연속적이고 점점 정규인 자기사상이 일반화된 Meir-Keeler 조건을 만족할 경우, Picard 반복 {T^n x}는 유일한 고정점을 향해 수렴한다.
• 이론은 완비성 조건 하에서 최종 정의된 점점 수렴성이 더 넓은 범주인 점점 수렴성 m-수축과 동치임을 보이며, 이로써 이전 결과들을 통합하고 일반화한다.