[논문 리뷰] Fixed point theorems for nonconvex valued correspondences and applications in game theory

Monica Patriche|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 02.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비볼록성과 비연속성의 새로운 클래스—약한 자연스러운 측정볼록성, *-약한 자연스러운 측정볼록성, 약한 이볼록성, 그리고 *–약한 볼록 그래프를 가진 것—을 도입하고, 이를 위한 고정점 정리들을 수립한다. W. K. Kim의 준점정리 버전과 연속 선택 기법을 사용하여, 완화된 볼록성 및 연속성 조건 하에서 일반화된 준게임에서의 균형 존재성을 증명하며, 이는 더 넓은 게임이론 모델로의 균형 존재 결과 확장을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce several types of correspondences: weakly naturally quasiconvex, *-weakly naturally quasiconvex, weakly biconvex and correspondences with *--weakly convex graph and we prove some fixed point theorems for these kinds of correspondences. As a consequence, using a version of W. K. Kim's quasi-point theorem, we obtain the existence of equilibria for a quasi-game.

연구 동기 및 목표

• 연속성이나 볼록값을 가지지 않는 사상에 대해 고정점 이론을 확장하여, 고정점 이론 분야에서 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.
• 약한 자연스러운 측정볼록성, *-약한 자연스러운 측정볼록성, 약한 이볼록성, 그리고 *–약한 볼록 그래프를 가진 사상과 같은 새로운 사상의 클래스를 도입하고 분석하여 이전 결과보다 더 민감한 조건을 제공한다.
• 이러한 고정점 정리를 적용하여, 비볼록 전략 집합과 비연속 선호도를 가진 경우에도 일반화된 준게임에서의 균형 존재성을 증명한다.
• 제약 조건과 선호도 사상에 대한 표준적인 볼록성 및 연속성 가정을 약화시켜 기존의 균형 존재 정리들을 일반화한다.

제안 방법

• 약한 자연스러운 측정볼록성, *-약한 자연스러운 측정볼록성, 약한 이볼록성, 그리고 *–약한 볼록 그래프를 가진 사상의 네 가지 새로운 유형을 도입하여, 고전적 볼록성 또는 연속성 조건을 완화한다.
• 그래프의 닫힘과 상부 반연속성 등의 위상 및 집합론적 도구를 사용하여 이러한 사상에 대한 고정점 정리를 증명한다.
• W. K. Kim의 준점정리의 변형을 적용하여 일반화된 준게임에서의 균형 존재성을 도출한다.
• Yannelis와 Prahbakar(1995)의 연속 선택 기법을 사용하여 *–약한 볼록 그래프를 가진 사상과 약한 자연스러운 측정볼록성 구조를 가진 사상에 대해 선택을 구성한다.
• 제약 사상 $ B_i $가 공집합이 아니며 볼록값을 가지며, $ A_i \subset B_i $이고 $ \text{cl } B_i $가 상부 반연속일 때, 일반화된 준게임 모델을 정의한다.
• 선택과 닫힘 성질을 이용한 모순을 통해 각 에이전트 $ i $에 대해 $ y_i^* \in \text{cl } B_i(x^*,y^*) $ 및 $ A_i(x^*,y^*) \cap P_i(x^*,y^*) = \emptyset $ 를 만족하는 균형 조건을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 볼록성이나 연속성 조건이 없는 사상에 대해 더 약한 구조적 가정 하에서 고정점 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 약한 자연스러운 측정볼록성, *-약한 자연스러운 측정볼록성, 약한 이볼록성, 그리고 *–약한 볼록 그래프를 가진 사상의 새로운 클래스가 완전한 볼록성 또는 연속성 없이도 고정점을 보장하는 데 충분한가?
• RQ3 이러한 고정점 결과를 비볼록 전략 집합과 비연속 선호도를 가진 일반화된 준게임에서의 균형 존재성 증명에 적용할 수 있는가?
• RQ4 연속 선택 기법이 *–약한 볼록 그래프를 가진 사상과 약한 자연스러운 측정볼록성 구조를 가진 사상에 대해 균형 모델에서 효과적인가?
• RQ5 비가산적인 에이전트 집합을 가진 일반화된 준게임에서, 균형 조건 $ y_i^* \in \text{cl } B_i(x^*,y^*) $ 및 $ A_i(x^*,y^*) \cap P_i(x^*,y^*) = \emptyset $ 가 성립하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 특정 *–약한 볼록 그래프를 가진 사상에 대해 고정점 정리를 수립하여, 그래프의 구조 조건을 완화한 조건 하에서 고정점의 존재를 증명한다.
• 일반화된 준게임 $ \Gamma $에 대해, $ y_i^* \in \text{cl } B_i(x^*, y^*) $ 및 $ A_i(x^*, y^*) \cap P_i(x^*, y^*) = \emptyset $ 를 만족하는 균형점 $ (x^*, y^*) \in X \times X $ 가 존재함을 약한 자연스러운 측정볼록성과 열린 집합 조건 하에서 증명한다.
• 만약 $ A_i \cap P_i $ 가 약한 이볼록성이고 $ W_i $ 가 이볼록 헐의 내부일 경우, 연속 선택과 고정점 추론을 통해 균형 존재성이 보장된다.
• 증명은 $ x_i^* \in \Phi_i(x^*, y^*) $ 이면 $ x_i \notin P_i(x,y) $ 라는 가정과 모순이 발생하므로 $ \Phi_i(x^*, y^*) = \emptyset $ 이고, 이는 $ (x^*, y^*) \notin W_i $ 를 의미하며, 이는 균형 조건을 보장한다.
• 결과적으로 이는 완전한 볼록성 또는 연속성의 필요성을 제거하여, 비볼록성 및 비연속성의 선호도 및 제약 사상에 대해서도 적용 가능하게 하여 이전의 균형 존재 정리를 일반화한다.
• 이 틀은 $ X_i $ 가 하우스도르프 국소볼록 공간에서 컴팩트 볼록 집합인 비가산 에이전트 집합 $ I $ 를 수용할 수 있으며, 이는 무한차원 및 대규모 게임 모델로의 적용 가능성을 확장한다.