[논문 리뷰] Fixed points and completeness in metric and in generalized metric spaces

Ştefan Cobzaş|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 21.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 132인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 고정점 정리와 거리공간의 완비성 사이의 논리적 관계를 조사하며, 특히 에클란드의 변분원리와 카리스티의 정리와 같은 특정 고정점 결과가 거리공간, 준거리공간, 부분거리공간에서 완비성을 암시함을 보여준다. 많은 일반화된 거리공간 설정에서 특정 유형의 사상(예: 수축, 약한 수축)에 대한 고정점의 존재는 기저 공간의 완비성과 동치임을 규명한다.

ABSTRACT

The famous Banach Contraction Principle holds in complete metric spaces, but completeness is not a necessary condition -- there are incomplete metric spaces on which every contraction has a fixed point. The aim of this paper is to present various circumstances in which fixed point results imply completeness. For metric spaces this is the case of Ekeland variational principle and of its equivalent - Caristi fixed point theorem. Other fixed point results having this property will be also presented in metric spaces, in quasi-metric spaces and in partial metric spaces. A discussion on topology and order and on fixed points in ordered structures and their completeness properties is included as well.

연구 동기 및 목표

• 고정점 정리가 거리공간의 완비성을 암시하는 조건을 규명함으로써, 완비성이 반드시 필요 조건은 아니라는 가정을 도전한다.
• 표준 거리공간을 초월하여 준거리공간 및 부분거리공간과 같은 일반화된 구조로 고정점 성질과 완비성의 등가성을 확장한다.
• 순서가 부여된 일반화된 거리공간에서 위상, 순서, 고정점 성질 간의 상호작용을 분석한다.
• 고정점 존재가 완비성을 유도함을 보여주는 역방향 결과를 제공함으로써, 고정점 행동을 통해 완비성을 특성화한다.
• 다양한 일반화된 거리공간 프레임워크에서 변분원리와 고정점 정리를 통해 완비성에 대한 기존 결과들을 통합하고 일반화한다.

제안 방법

• 고정점 존재로부터 완비성을 유도하기 위해 에클란드의 변분원리와 카리스티의 고정점 정리 간의 등가성을 중심 도구로 사용한다.
• w-거리와 τ-거리 개념을 적용하여 고정점 결과를 일반화하고, 거리공간 및 준거리공간에서의 완비성을 분석한다.
• 브랑키아리의 공리 체계를 통해 일반화된 거리공간을 도입하며, 네 개의 서로 다른 점에 대한 일반화된 삼각부등식(GM3)을 포함한다.
• 준거리공간의 특수한 경우로 부분거리공간을 고려하며, 그 위상, 순서 구조, 완비성 성질에 집중한다.
• 비대칭 거리공간 설정에서 완비성을 탐색하기 위해 타타루 거리와 비가역성 사상의 연속적 군을 활용한다.
• 특수화 순서와 간격 위상과 같은 순서론적 도구를 활용하여 고정점 결과와 순서 구조에서의 완비성 간의 연결을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수축 사상에 대한 고정점의 존재가 기저 거리공간의 완비성을 암시하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 에클란드 원리와 같은 변분원리가 일반화된 거리공간에서 완비성을 특성화하는 데 얼마나 효과적인가?
• RQ3 준거리공간 또는 부분거리공간에서 약한 수축이나 다중집합 사상에 대한 고정점 정리로 완비성이 등가적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 순서론적 성질(예: 방향 완비성, 순서 수렴)은 순서가 부여된 거리공간에서 고정점 존재성과 완비성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 w-거리와 τ-거리는 어떤 방식으로 고정점 존재가 완비성을 암시하는 역방향 고정점 정리를 수립하는 데 기여하는가?

주요 결과

• 모든 약한 수축 사상(특정 w-거리에 대해)이 고정점을 가진다면, 그 거리공간은 완비이다.
• 에클란드의 변분원리와 카리스티의 고정점 정리는 완비 거리공간에서 완비성과 등가이며, 반대로 이들의 타당성은 완비성을 암시한다.
• 준거리공간에서는 w-거리에 의해 정의된 특정 수축에 대한 고정점 존재는 스미스 완비성(비대칭 설정에서 더 강력한 완비성 형태)을 암시한다.
• 부분거리공간에서는 카리스티 정리가 성립하는 것과 완비성 사이에 엄밀한 등가성이 존재한다.
• 타타루 거리는 강한 연속성의 비가역성 사상 군에서 유도되며, w-거리이지만 반드시 τ-거리인 것은 아니며, 그 성질은 완비성의 특성화에 기여한다.
• 보르바인의 결과를 일반화한다: 노름공간의 볼록 부분집합은 모든 수축이 고정점을 가질 때이고 그때에만 완비이다.