[논문 리뷰] Fixed Points for Stochastic Open Chemical Systems

V. A. Malyshev|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 16.

Gene Regulatory Network Analysis참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 물질의 교환을 유일한 비가역성 원천으로 삼는 열역학적 네트워크로 캄파르트먼트를 모델링하여, 마이클리스-멘텐 동역학을 포함한 일련의 스토케스틱 개방 화학 반응 시스템에서 안착 고정점의 존재를 확립한다. 지연된 운반을 수반하는 네트워크-온-네트워크 프레임워크를 도입하여, 특정 운반 역학 조건 하에서 이러한 시스템이 안정적이고 홈오스테이틱 고정점을 나타낼 수 있음을 증명한다.

ABSTRACT

In the first part of this paper we give a short review of the hierarchy of stochastic models, related to physical chemistry. In the basement of this hierarchy there are two models --- stochastic chemical kinetics and the Kac model for Boltzman equation. Classical chemical kinetics and chemical thermodynamics are obtained as some scaling limits in the models, introduced below. In the second part of this paper we specify some simple class of open chemical reaction systems, where one can still prove the existence of attracting fixed points. For example, Michaelis ire Menten kinetics belongs to this class. At the end we present a simplest possible model of the biological network. It is a network of networks (of closed chemical reaction systems, called compartments), so that the only source of nonreversibility is the matter exchange (transport) with the environment and between the compartments. Keywords: chemical kinetics, chemical thermodynamics, Kac model, mathematical biology

연구 동기 및 목표

• 비가역적 동역학을 갖는 스토케스틱 개방 화학 시스템을 분석하여 물리화학과 수학적 생물학 사이의 격차를 메우기.
• 가역성이 없음에도 불구하고 개방 화학 반응 시스템이 안정적이고 안착 고정점을 나타내는 조건을 규명하기.
• 생물학적 네트워크를 상호작용하는 물질의 교환을 통해 연결된 열역학적 캄파르트먼트의 네트워크로 모델링하여, 환경 및 캄파르트먼트 간의 교환을 통해 비가역성을 포착하기.
• 시간 지연과 운반 속도가 다중 캄파르트먼트 시스템에서 단계 전이와 홈오스테이틱 조절을 유도하는 방식을 분석하기.
• 스토케스틱 열역학 모델을 사용하여 생물학적 네트워크의 논리적 및 동역학적 행동을 연구하기 위한 엄밀한 수학적 기반을 마련하기.

제안 방법

• 입자 위치, 속도, 종류의 가чёт한 구성 상태에 대한 스토케스틱 과정을 사용하여 분자 운동을 모델링하며, 초기 조건은 측도 공간에 의해 기술된다.
• 시간에 따라 변화하는 전이 커널을 갖는 개별 입자에 대한 마코프 과정을 정의하며, 농도 밀도에 따라 의존하고, 공동 분포의 진화를 위한 콜모고로프 방정식을 사용한다.
• 각 캄파르트먼트가 닫혀 있고 열역학적으로 안정된 시스템이며, 캄파르트먼트 간 운반은 무작위 지연이 있는 도착 시간의 스토케스틱 모델로 표현되는 네트워크-온-네트워크 구조를 도입한다.
• 각 캄파르트먼트의 농도 동역학에 대한 평균장 근사 방정식을 유도하며, 입력/출력 속도, 다른 캄파르트먼트로부터의 운반(시간 지연 포함), 내부 반응 항을 포함한다.
• 카크 모델과 스토케스틱 화학 동역학을 기초 모델로 사용하여, 고전적 화학 동역학과 열역학이 척도 한계에서 유도됨을 보여준다.
• 스토케스틱 과정 및 에르고딕 이론의 방법을 적용하여 단일 캄파르트먼트 시스템에서 영재귀성과 고정점 존재성을 증명하고, 이를 다중 캄파르트먼트 네트워크로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가역적 동역학을 갖는 개방 화학 반응 시스템이 어떤 조건에서 안착 고정점을 수용할 수 있는가?
• RQ2 캄파르트먼트 간 운반의 시간 지연이 열역학적 캄파르트먼트 네트워크에서 농도 동역학의 안정성과 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 제어 가능한 운반 속도에 의해 다중 캄파르트먼트 네트워크에서 홈오스테이틱 조절이 발생할 수 있으며, 고정점은 이러한 속도에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 운반 매개변수나 시간 지연을 변화시킬 경우 캄파르트먼트 네트워크에서 발생하는 단계 전이는 무엇인가?
• RQ5 주기적 또는 스토케스틱 입력 속도 하에서 시스템은 어떻게 행동하는가, 특히 사이클릭 구조에서 어떤 수렴 성질이 나타나는가?

주요 결과

• 마이클리스-멘텐 동역학을 포함한 일련의 개방 화학 반응 시스템은 적절한 조건 하에서 비가역성 없이도 안착 고정점을 수용할 수 있다.
• 단일 캄파르트먼트(랭크-1 네트워크)에서는 열역학적 평형에 의해 결정되는 고정점으로 수렴하며, [7]의 방법을 통해 영재귀성이 증명되었다.
• 캄파르트먼트 네트워크(랭크-2 네트워크)에서는 농도 동역학의 극한 방정식에 무작위 시간 지연이 있는 운반 항이 포함되며, 이는 거시적 척도에서 무작위성을 유지한다.
• 운반 속도를 매끄럽게 변화시킬 경우 시스템은 홈오스테이틱 행동를 나타내며, 고정점은 운반 매개변수에 대해 연속적으로 의존한다.
• 운반 속도가 임계 임계값을 초과할 경우 단계 전이가 발생하여 고정점의 안정성 영역에 급격한 변화가 올 수 있다.
• 무작위 지연으로 인한 시간 비동기화는 특히 사이클릭 네트워크에서 장기적 행동을 크게 변화시킬 수 있으며, 생물학적 시스템에서의 동역학적 조절 메커니즘을 시사한다.