[논문 리뷰] Fixed points of multiplicative contraction mappings on multiplicative metric spaces

Muttalip Özavşar, Adem C. Çevikel|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 23.

Fixed Point Theorems Analysis인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 다중 곱셈 거리 공간에서의 곱셈적 수축 사상들을 도입하고, 완비 다중 곱셈 거리 공간에서 이러한 사상에 대한 고정점 정리들을 수립한다. 이는 양의 실수 집합 ℝ₊가 곱셈 거리에 대해 완비임을 증명하며, 특정한 수축 조건(상수 λ ∈ [0, 1/2)을 포함) 하에서, 사상이 고유한 고정점을 가지며, 반복 수열이 그 고정점으로 수렴함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we first discussed multiplicative metric mapping by giving some topological properties of the relevant multiplicative metric space. As an interesting result of our discussions, we observed that the set of positive real numbers $\\mathbb{R}_+$ is a complete multiplicative metric space with respect to the multiplicative absolute value function. Furthermore, we introduced concept of multiplicative contraction mapping and proved some fixed point theorems of such mappings on complete multiplicative metric spaces

연구 동기 및 목표

• 다중 곱셈 거리 공간의 위상적 구조를 조사하고, 완비성과 같은 기본 성질를 수립하기 위해.
• 다중 곱셈 수축 사상의 정의와 분석을 통해 고전적 수축 원리들을 다중 곱셈 설정으로 일반화하기 위해.
• 완비 다중 곱셈 거리 공간에서 이러한 사상에 대한 고정점 정리를 증명하여 고정점의 존재성과 유일성을 보장하기 위해.
• 구체적인 예시를 통해 결과의 적용 가능성을 보여주기 위해, ℝ₊와 ℝ²의 부분집합에서의 사상들을 포함한다.
• 다중 곱셈 부등식과 역삼각부등식을 사용하여, 표준 거리 공간에서의 고전적 고정점 이론을 다중 곱셈 거리 공간으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 모든 x≠y에 대해 d(x,y)>1, x=y일 때에만 d(x,y)=1을 만족하며, 대칭성과 곱셈 삼각부등식 d(x,z)≤d(x,y)·d(y,z)를 만족하는 다중 곱셈 거리 d:X×X→ℝ의 정의.
• ℝ₊ⁿ 및 ℂⁿ에서 다중 곱셈 거리를 구성하기 위해, |a|⁎=a (a≥1일 때), 1/a (a<1일 때)로 정의된 다중 곱셈 절댓값 함수의 도입.
• 다중 곱셈 역삼각부등식의 수립: 모든 x,y,z∈X에 대해 |d(x,z)/d(y,z)|⁎ ≤ d(x,y).
• 다중 곱셈 열린 공과 닫힌 공의 정의를 하고, 열린 공이 다중 곱셈 열린 집합임을 증명하며, X 위에 위상 구조를 형성함.
• λ∈[0,1/2)에 대해 d(fx,fy)≤(d(fx,y)·d(fy,x))⁵를 만족하는 다중 곱셈 수축 사상의 정의와 반복 수열을 이용한 수렴성 증명.
• 공간의 완비성을 이용하여 코시 수열 (xn)이 극한 z로 수렴함을 보이고, 극한을 취할 때 d(fz,z)=1이면 fz=z임을 극한의 성질을 이용해 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 실수 집합 ℝ₊는 곱셈 거리 d(x,y)=|x/y|⁎ 하에서 완비인가?
• RQ2 완비 다중 곱셈 거리 공간에서 다중 곱셈 수축 사상에 대한 고정점 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ3 완비 다중 곱셈 거리 공간에서 사상 f:X→X에 대해 고정점의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 이러한 공간에서 반복 수열 (fⁿx)의 행동은 어떠한가? 그리고 고정점으로 수렴하는가?
• RQ5 다중 곱셈 삼각부등식과 역삼각부등식을 사용하여, 고전적 고정점 결과를 다중 곱셈 거리 공간으로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 양의 실수 집합 ℝ₊는 다중 곱셈 절댓값 함수 |a|⁎에 의해 완비 다중 곱셈 거리 공간이다.
• ℝ₊에서의 다중 곱셈 거리 d(x,y)=|x/y|⁎는 다중 곱셈 삼각부등식을 포함한 모든 필수 공리들을 만족한다.
• λ∈[0,1/2)일 때 d(fx,fy)≤(d(fx,y)·d(fy,x))⁵를 만족하는 사상 f에 대해, 임의의 완비 다중 곱셈 거리 공간에서 고정점이 유일하게 존재한다.
• 제시된 수축 조건 하에서, 완비 다중 곱셈 거리 공간에서 반복 수열 (fⁿx)은 고정점으로 수렴한다.
• X=[0.1,1]에서의 사상 f(x)=e^{x−1−x³/10}는 λ=0.997일 때 다중 곱셈 수축 조건을 만족하며, 약 0.7411에서 고정점이 유일하게 존재한다.
• X⊂ℝ²에서의 예시 d((a,b),(c,d))=(|a/c|⁎·|b/d|⁎)^{1/3}는 λ=1/2일 때 수축 조건을 만족하며, (1,1)에서 고정점이 유일하게 존재함을 확인한다.