[논문 리뷰] Fixed-Time Stable Proximal Dynamical System for Solving Mixed Variational Inequality Problems

Kunal Garg, Mayank Baranwal외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 09.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 32인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 초기 조건과 관계없이 일정한 시간 이내에 혼합 변분부등식 문제(MVIP)의 해로 수렴하는 고정시간 안정(proximal) 역학계를 제안한다. 강한 모노톤성과 리프시츠 연속성 조건 하에서, 시스템은 유일한 해 존재성과 유한시간 수렴을 보장하며, 허위모노톤성과 이산화 안정성으로의 확장도 가능하다.

ABSTRACT

In this paper, a novel modified proximal dynamical system is proposed to compute the solution of a {mixed variational inequality problem} within a fixed time, where the time of convergence is finite, and is uniformly bounded for all initial conditions. Under the assumptions of strong monotonicity and Lipschitz continuity, it is shown that a solution of the modified proximal dynamical system exists, is uniquely determined and converges to the unique solution of the associated mixed variational inequality problem (MVIP) within a fixed time. As a special case for solving variational inequality problems, the modified proximal dynamical system reduces to a fixed-time stable projected dynamical system. Furthermore, the fixed-time stability of the modified projected dynamical system continues to hold, even if the assumptions of strong monotonicity are relaxed to that of strong pseudomonotonicity. Connections to convex optimization problems are discussed, and commonly studied dynamical systems in the continuous-time optimization literature are shown as special cases of the modified proximal dynamical system proposed in this paper. Finally, it is shown that the discretization of the proposed scheme converges to an arbitrarily small neighborhood of the solution of the associated MVIP within a fixed number of steps, independent of the initial conditions. Two numerical examples are presented, which give numerical evidence in support of the fixed-time convergent behavior of the proposed modified proximal dynamical system.

연구 동기 및 목표

• 초기 조건과 관계없이 일정한 상한 시간 이내에 수렴하는 고정시간 수렴성을 보장하는 혼합 변분부등식 문제(MVIP)를 해결하는 역학계를 개발하는 것.
• 강한 모노톤성을 강한 허위모노톤성으로 완화한 경우에도, 고정시간 안정성을 유지하는 투영 역학계를 확장하는 것.
• 기존 연속시간 최적화 역학계를 제안된 수정된 프oksimal 시스템의 특수한 경우로 통합 및 일반화하는 것.
• 이산화된 제안된 방법이 초기 조건과 무관하게 고정된 단계 수 이내에 MVIP 해의 임의로 작은 이웃 영역으로 수렴함을 보여주는 것.

제안 방법

• MVIP의 해로 향한 고정시간 수렴을 보장하기 위해 시간에 따라 변하는 감쇠 항을 갖는 수정된 프oksimal 역학계를 제안한다.
• 존재성, 유일성 및 유한시간 수렴성을 증명하기 위해 강한 모노톤성과 리프시츠 연속성 가정을 활용한다.
• 표준 변분부등식 문제의 특수한 경우에서 수정된 프oksimal 시스템이 고정시간 안정 투영 역학계로 축소됨을 보여준다.
• 강한 허위모노톤성의 경우로 안정성 결과를 확장하여, 강한 모노톤성 조건을 벗어난 더 넓은 문제 범주로의 적용 가능성을 높인다.
• 연속시간 최적화 시스템과의 연결을 분석하여, 잘 알려진 시스템(예: 투영 경사하강 흐름)이 제안된 프레임워크의 특수한 경우임을 보여준다.
• 이중 시간 버전의 방법을 유도하고, 초기 조건과 무관하게 고정된 단계 수 이내에 MVIP 해의 임의로 작은 이웃 영역으로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 조건과 관계없이 일정한 시간 이내에 수렴하는 프oksimal 역학계를 설계하여 혼합 변분부등식 문제의 해로 수렴시킬 수 있는가?
• RQ2 강한 모노톤성을 강한 허위모노톤성으로 완화한 경우에도, 투영 역학계의 고정시간 안정성이 유지되는가?
• RQ3 기존 연속시간 최적화 역학계는 제안된 수정된 프oksimal 시스템과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 제안된 연속시간 방법의 이산화가 초기 조건과 무관하게 고정된 단계 수 이내에 수렴할 수 있는가?
• RQ5 이산화 조건 하에서 수렴 시간과 이웃 영역 정확도 측면에서 시스템의 정량적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 강한 모노톤성과 리프시츠 연속성 조건 하에서 제안된 수정된 프oksimal 역학계는 MVIP의 유일한 해로 유한시간 수렴을 보장하며, 모든 초기 조건에 대해 수렴 시간이 일정한 상한을 갖는다.
• 표준 변분부등식 문제의 특수한 경우에서 이 시스템은 고정시간 안정 투영 역학계로 축소되며, 동일한 조건 하에서 고정시간 수렴을 유지한다.
• 강한 모노톤성을 강한 허위모노톤성으로 완화한 경우에도 고정시간 안정성이 유지되어, 더 넓은 문제 범주로의 적용 가능성이 향상된다.
• 제안된 방법의 이산화가 초기 조건과 무관하게 고정된 단계 수 이내에 MVIP 해의 임의로 작은 이웃 영역으로 수렴한다.
• 수치 예제는 시스템의 고정시간 수렴 행동을 확인하여 이론적 주장에 대한 경험적 지원을 제공한다.
• 일반적으로 연구된 연속시간 최적화 시스템(예: 투영 경사하강 흐름)은 제안된 수정된 프oksimal 역학계의 특수한 경우로 밝혀졌다.