[논문 리뷰] Flat affine symplectic Lie groups

Fabricio Valencia|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 05.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 좌대칭 대수의 Nijenhuis 코hom로리와 이중 확장에 의한 심플렉틱 에탈 아핀 표현을 사용하여 평탄한 아핀 심플렉틱 리 군의 새로운 특성화를 제안한다. 모든 단순연결된 평탄한 아핀 심플렉틱 리 군이 이중연결된 심플렉틱 접속을 갖는 경우 비자명한 중심 이동의 일파라미터 부분군을 포함하며, 모든 짝수 차원에서 반복적 이중 확장을 통해 이러한 군을 구성함을 증명한다.

ABSTRACT

We give a new characterization of flat affine manifolds in terms of an action of the Lie algebra of classical infinitesimal affine transformations on the bundle of linear frames. We characterize flat affine symplectic Lie groups using symplectic étale affine representations and as a consequence of this, we show that a flat affine symplectic Lie group with bi-invariant symplectic connection contains a nontrivial one parameter subgroup formed by central translations. We give two methods for constructing flat affine symplectic Lie groups, thus obtaining all those having bi-invariant symplectic connections. We get nontrivial examples of simply connected flat affine symplectic Lie groups in every even dimension.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 에탈 아핀 표현을 통해 평탄한 아핀 심플렉틱 리 군을 특성화하기.
• 이중연결된 평탄한 아핀 심플렉틱 리 군이 이중연결된 심플렉틱 접속을 갖는 경우 비자명한 중심 이동의 일파라미터 부분군을 포함함을 보여주기.
• 좌대칭 대수의 Nijenhuis 코호몰로지로 사용되는 이중 확장 방법을 개발하여 이러한 모든 리 군을 구성하기.
• 이들 군에서의 좌변 평탄한 아핀 심플렉틱 접속의 지오데식 완비성 조건을 설정하기.
• 정규 아벨 라그랑주 부분군을 갖는 평탄한 아핀 심플렉틱 리 군이 평탄한 아핀 리 군의 왜곡된 코탄제이트 심플렉틱 리 군임을 증명하기.

제안 방법

• 고전적인 무한소 아핀 변환의 리 대수 작용을 선형 프레임 번들의 위에 도입하여 평탄한 아핀 다양체의 새로운 특성화 도입.
• 심플렉틱 에탈 아핀 표현을 사용하여 평탄한 아핀 심플렉틱 리 군을 특성화하기.
• 좌대칭 대수의 Nijenhuis 코호몰로지로 하위차원 대수의 이중 확장을 통해 평탄한 아핀 심플렉틱 리 대수를 구성하기.
• 공통 곱과 $ Z_{SG}^2(rak{g}, rak{g}^*) $ 안의 2-코사이클을 사용하여 평탄한 아핀 리 군의 왜곡된 코탄제이트 심플렉틱 리 군 정의하기.
• 기존의 곱과 코사이클로부터 $ rak{g} \times \frak{g}^* $ 위의 좌대칭 곱 유도하여 군의 구조 정의하기.
• Helmstetter의 기준 적용: 좌변 평탄한 아핀 접속이 지오데식 완비일 조건은 모든 군 원소에서 우변 곱 연산자가 멱영일 때이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평탄한 아핀 심플렉틱 리 군이 비자명한 중심 이동의 일파라미터 부분군을 포함하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이중연결된 평탄한 아핀 심플렉틱 리 군이 이중연결된 심플렉틱 접속을 갖는 경우 체계적으로 모든 군을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 평탄한 아핀 심플렉틱 리 군과 평탄한 아핀 리 군의 왜곡된 코탄제이트 심플렉틱 리 군 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 구성된 군에서의 좌변 평탄한 아핀 심플렉틱 접속이 지오데식 완비가 되는 조건은 언제인가?
• RQ5 Nijenhuis 코호몰로지와 이중 확장이 평탄한 아핀 심플렉틱 리 대수를 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 이중연결된 평탄한 아핀 심플렉틱 리 군이 이중연결된 심플렉틱 접속을 갖는 경우 비자명한 중심 이동의 일파라미터 부분군을 포함한다.
• 이중연결된 평탄한 아핀 심플렉틱 리 군이 이중연결된 심플렉틱 접속을 갖는 경우 하위차원 평탄한 아핀 심플렉틱 리 대수의 이중 확장으로 구성될 수 있다.
• 왜곡된 코탄제이트 심플렉틱 리 군 구성은 원래 군이 평탄한 아phin이면서 2-코사이클이 $ Z_{SG}^2(rak{g}, rak{g}^*) $ 안에 있을 때에만 평탄한 아핀 심플렉틱 리 군의 구조를 유도한다.
• 왜곡된 코탄제이트 군에서 유도된 접속의 지오데식 완비성은 원래 우변 곱과 공통 곱에 관련된 사상이 모두 멱영일 때에만 성립한다.
• 모든 짝수 차원에서 비자명한 단순연결된 평탄한 아핀 심플렉틱 리 군의 예가 이중 확장 방법으로 구성될 수 있다.
• 왜곡된 코탄제이트 군에서의 좌변 평탄한 아핀 심플렉틱 접속은 원래 접속이 지오데식 완비일 때에만 지오데식 완비가 된다.