[논문 리뷰] Flat bundles, von Neumann algebras and $K$-theory with $\\R/\\Z$-coefficients

Paolo Antonini, Sara Azzali외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 01.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 닫힌 다양체 $M$ 위의 평탄한 유니터리 표현 $\alpha: \pi_1(M) \to U_n$ 와 관련된 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 계수 $K$-이론 클래스 $[\alpha]$를 상대 $K$-이론을 통해 유한한 바나흐-폰 노이만 대수 $B$ 에 대한 상대 $K$-이론을 이용해 캐논컬하게, 연산자 대수학적 방법으로 구성한다. 주요 결과는 $[\alpha]$가 타원적 자기수반 연산자 $D$ 의 $K$-호모로지 클래스와 페어링될 때, 스펙트럴 플로우와 바나흐-폰 노이만 추적 방법을 통해 $\mathbb{Z}$ 모듈로의 $\rho$-불변량과 일치함을 보여준다.

ABSTRACT

Let $M$ be a closed manifold and $\\alpha : \\pi_1(M)\ o U_n$ a representation. We give a purely $K$-theoretic description of the associated element $[\\alpha]$ in the $K$-theory of $M$ with $\\R/\\Z$-coefficients. To that end, it is convenient to describe the $\\R/\\Z$-$K$-theory as a relative $K$-theory with respect to the inclusion of $\\C$ in a finite von Neumann algebra $B$. We use the following fact: there is, associated with $\\alpha$, a finite von Neumann algebra $B$ together with a flat bundle $\\cE\ o M$ with fibers $B$, such that $E_\\a\\otimes \\cE$ is canonically isomorphic with $\\C^n\\otimes \\cE$, where $E_\\alpha$ denotes the flat bundle with fiber $\\C^n$ associated with $\\alpha$. We also discuss the spectral flow and rho type description of the pairing of the class $[\\alpha]$ with the $K$-homology class of an elliptic selfadjoint (pseudo)-differential operator $D$ of order 1.

연구 동기 및 목표

• 평탄한 유니터리 표현 $\alpha$ 에 대해 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 계수 $K$-이론 클래스 $[\alpha]$ 를 코homological 도구 없이 순수하게 $K$-이론과 바나흐-폰 노이만 대수학적 방법으로 기술하는 것.
• 모든 $B$ 가 ${\rm II}_1$-팩터일 때 포함관계 $\mathbb{C} \hookrightarrow B$ 에 대한 상대 $K$-이론과 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 계수 $K$-이론 사이의 캐논컬한 동형사상을 확립하는 것.
• $D$ 를 타원적 자기수반 연산자로 간주할 때, $[\alpha]$ 와 $K$-호모로지 클래스 $[D] \in K_1(M)$ 의 페어링을 스펙트럴 플로우와 바나흐-폰 노이만 추적 및 연결을 이용해 $\mathbb{Z}$ 모듈로의 스펙트럴 플로우와 $\rho$-불변량으로 계산하는 것.
• 코homological 구성 대신 연산자 대수학적 모델을 사용하여 아티야–파타디–식스 인덱스 정리를 평탄한 번들로 일반화하는 것.

제안 방법

• 상대 $K$-이론 $K_*(A \to A \otimes B)$ 를 사용하여, $B$ 가 ${\rm II}_1$-팩터일 때, $\mathbb{C} \hookrightarrow B$ 의 단위 포함관계의 매핑 콘의 방식으로 $K^*(M; \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 를 모델링한다.
• $\alpha$ 에서 유도된, $B$ 를 섬유로 가지는 평탄한 번들 $\mathcal{E} \to M$ 을 구성하여, $E_\alpha \otimes \mathcal{E} \cong \mathbb{C}^n \otimes \mathcal{E}$ 를 만족함으로써, $K^1(M; \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 에서의 클래스 $[\alpha]$ 에 대한 캐논컬한 식별을 가능하게 한다.
• $[D] \in K_1(M)$ 과의 페어링은 카스파로프 프로덕트로 실현되며, 스펙트럴 플로우를 통해 $\mathbb{Z}$ 모듈로의 $\rho$-불변량을 계산한다.
• $\eta$ 및 $\rho$ 불변량은 바나흐-폰 노이만 추적과 열화핵 추적을 이용해 정의되며, 스펙트럼 제타 함수의 $\varepsilon$-정규화를 통해 국소 항의 수렴성을 확보한다.
• $C^*$-대수의 부트스트랩 범주에서의 쿠른렌스 속성에 의해, 이 모델이 $B$ 의 선택에 관계없이 독립적임을 보였다.
• 기존의 모델들(예: APS, 카루비, 라트)과의 등가성을 연산자 대수학적 정의를 통해 $K$-이론의 $\mathbb{Q}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 계수에 대해 확립하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평탄한 유니터리 표현 $\alpha$ 와 관련된 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 계수 $K$-이론 클래스 $[\alpha]$ 는 코homological 도구 없이 순수하게 $K$-이론과 바나흐-폰 노이만 대수학적 방법으로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 평탄한 번들 맥락에서, 자기수반 타원적 연산자 경로의 스펙트럴 플로우와 $\mathbb{Z}$ 모듈로의 $\rho$-불변량 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 $[\alpha]$ 와 타원적 연산자 $D$ 의 $K$-호모로지 클래스 $[D]$ 의 페어링은 카스파로프 프로덕트로 실현되고, $\rho$-불변량으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 바나흐-폰 노이만 추적과 열화핵 추적은 $B$-번들의 비가환 설정에서 $\eta$-불변량과 $\xi$-불변량을 일관되게 정의하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 제안된 $K^*(M; \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 모델은 캐논컬한 동형사상에 의해 아티야–파타디–식스 모델과 등가적인가?

주요 결과

• $[\alpha] \in K^1(M; \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 는 $B$ 가 ${\rm II}_1$-팩터일 때 상대 $K$-이론 $K_*(\mathbb{C} \to \mathbb{C} \otimes B)$ 의 원소로 캐논컬하게 구성되며, 쿠른렌스 속성에 의해 $B$ 의 선택에 관계없이 독립적임을 보였다.
• $[\alpha]$ 와 $[D] \in K_1(M)$ 의 페어링은 스펙트럴 플로우와 열화핵의 $\varepsilon$-정규화된 추적을 통해 $\mathbb{Z}$ 모듈로의 $\rho(\alpha, D)$ 와 동일함을 보였다.
• 자기수반 연산자 경로의 스펙트럴 플로우 $\mathrm{sf}_a(G_0, G_1)$ 는 $K_1(C_0(]0,1[) \otimes B)$ 에서의 $(V, \varphi(G))$ 클래스를 계산하는 데 사용되며, $\mathrm{sf}_a(G_0, G_1) = \lambda$ 이면 결과가 $j(\lambda)$ 가 된다.
• $B$ 를 계수로 가지는 연산자에 대한 $\eta$-불변량은 추적 $\mathrm{Tr}_N$ 을 통해 정의되며, 그 $\varepsilon$-정규화는 카렌–시몬스 클래스를 포함하는 국소 항으로 수렴한다.
• $\theta(G_0, G_1) = 0$ 이라는 식이 스펙트럴 플로우의 국소성과 $G_0, G_1$ 이 동일한 평탄한 번들로 편변화되어 있음을 고려해 증명되었으며, 이는 APS 인덱스 정리와의 일致성을 확인한다.
• $\mathbb{C} \hookrightarrow B$ 를 통한 상대 $K$-이론을 통한 $K^*(M; \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 모델이 캐논컬한 동형사상을 통해 기존의 APS 모델과 다른 모델들(예: 카루비, 라트)과 등가임을 보였다.