[논문 리뷰] Flat rank 2 vector bundles on genus 2 curves

Viktoria Heu, Frank Loray|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 10.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 38인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 종수 2 곡선 위의 추적-free이며 기약인 랭크 2 접속의 모듈리 공간을 구축하고 연구하며, 초타원적 대칭을 활용하여 이러한 접속을 리만 구면 위의 로그 접속으로 강하한다. 주요 기여는 접속에서 기본 벡터(bundle)로의 忘却(map)에 대한 라그랑주 유리 섹션을 명시적으로 구성한 것으로, 이는 클래식한 쿠머 표면의 (16,6)-구성과 보로네시의 Poincaré 가족을 2차 덮개를 통해 복원하는 데 기여한다.

ABSTRACT

We study the moduli space of trace-free irreducible rank 2 holomorphic connections over a complex projective curve of genus 2 and the forgetful map towards the moduli space of underlying vector bundles (including unstable bundles), for which we compute a natural Lagrangian rational section. As a particularity of the genus $2$ case, connections as above are invariant under the hyperelliptic involution : they descend as rank $2$ logarithmic connections over the Riemann sphere. We establish explicit links between the well-known moduli space of the underlying parabolic bundles with the classical approaches by Narasimhan-Ramanan, Tyurin and Bertram. This allow us to explain a certain number of geometric phenomena in the considered moduli spaces such as the classical $(16,6)$-configuration of the Kummer surface. We also recover a Poincaré family due to Bolognesi on a degree 2 cover of the Narasimhan-Ramanan moduli space. We explicitly compute the Hitchin integrable system on the moduli space of Higgs bundles and compare the Hitchin Hamiltonians with those found by vanGeemen-Previato. We explicitly describe the isomonodromic foliation in the moduli space of vector bundles with $\mathfrak{sl}_2({\mathbb C})$-connection over curves of genus 2 and prove the transversality of the induced flow with the locus of unstable bundles.

연구 동기 및 목표

• 종수 2 곡선 위의 추적-free이며 기약인 랭크 2 접속의 모듈리 스택을 구축하고 분석하는 것.
• 접속에서 기본 벡터(bundle)로의 忘却(map)의 기하학적 구조를 이해하고, 불안정한 벡터 번들의 역할을 분석하는 것.
• 초타원적 대칭을 활용하여 종수 2 곡선 위의 평탄한 접속을 리만 구면 위의 로그 접속으로 연결하는 것.
• 모듈리 공간을 통한 파라보릭 번들의 기하학을 활용하여 클래식한 기하 구성, 예를 들어 쿠머 표면의 (16,6)-구성에 대한 설명을 제공하는 것.
• 나라시마한-라마나단 모듈리 공간의 2차 덮개 위에서 보로네시의 Poincaré 가족을 복원하고 재해석하는 것.

제안 방법

• 종수 2 곡선 위의 초타원적 대칭을 활용하여 평탄한 랭크 2 접속을 몫 사상 π: X → P¹ 을 통해 리만 구면 위의 로그 접속으로 강하시키는 것.
• 웨이어슈트라스 점들의 임계 분할자(의 critical divisor)를 이용하여 X 위의 평탄한 접속과 X/ι = P¹ 위의 파라보릭 로그 접속 사이의 직접적인 대수적 대응을 수립하는 것.
• 접속의 모듈리 스택에 대한 명시적 아틀라스를 구성하고, 몫 공간 위에서의 명시적 사상(apparent map)을 정의하여 忘却 준동형을 분석하는 것.
• 히긴스 번들 모듈리 공간 위에서 히친 해밀토니안을 명시적으로 계산하고, 반 게멘-프레비아토의 결과와 비교하는 것.
• 다르부 좌표계와 해밀토니안 시스템을 적용하여 등모노드로미 변형을 연구하고, Gunning 번들의 집합에 대한 등모노도로미 분할의 교차성(transversality)을 증명하는 것.
• 프로젝티브 구조와 샤우르지안 미분을 활용하여 Gunning 번들 위의 접속을 단순 회귀 표현(monodromy representations)과 연결하고, 헤자할의 정리에 대한 새로운 증명을 제시하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초타원적 대칭은 종수 2 곡선 위의 평탄한 랭크 2 접속이 어떻게 P¹ 위의 로그 접속으로 강하하는가?
• RQ2 접속의 모듈리 공간에서 기본 벡터 번들의 모듈리 공간으로의 忘却(map)의 기하학적 구조는 어떠한가? 그리고 자연스러운 섹션이 존재하는가?
• RQ3 클래식한 쿠머 표면의 (16,6)-구성은 어떻게 파라보릭 번들의 모듈리 공간과 접속을 통해 기하학적으로 설명할 수 있는가?
• RQ4 히긴스 시스템의 해밀토니안과 반 게멘-프레비아토의 고전적 공식 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 등모노도로미 분할은 불안정한 Gunning 번들의 집합과 교차하는가? 그리고 이는 헤자할의 정리와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 접속의 모듈리 공간에서 기본 벡터 번들의 모듈리 공간으로의 忘却(map)은 초타원적 강하를 통해 자연스러운 라그랑주 유리 섹션을 갖는다.
• 종수 2 곡선 위의 모든 기약 평탄한 랭크 2 접속은 초타원적 대칭에 대해 불변이며, 웨이어슈트라스 점들에서의 극을 갖는 P¹ 위의 로그 접속으로 강하된다.
• P¹ 위의 파라보릭 번들 모듈리 공간은 X 위의 접속 모듈리 공간과 동형이며, 이는 클래식한 쿠머 표면의 (16,6)-구성에 대한 기하학적 실현을 제공한다.
• 논문은 초타원적 대응을 통해 나라시마한-라마나단 모듈리 공간의 2차 덮개 위에서 보로네시의 Poincaré 가족을 복원한다.
• 히긴스 번들 모듈리 공간 위에서의 히친 해밀토니안을 명시적으로 계산하여 반 게멘-프레비아토의 공식과 일치함을 확인한다.
• 등모노도로미 분할은 Gunning 번들의 집합과 교차하며, 이는 단순히 단일 접속의 모노도로미 사상이 국소적으로 미분동형임을 보여주는 헤자할의 정리에 대한 새로운 증명을 제공한다.