[논문 리뷰] Flatness of Tensor Products and Semi-Rigidity for $C_2$-cofinite Vertex Operator Algebras. II (Functional part)

Masahiko Miyamoto|arXiv (Cornell University)|2009. 09. 21.

Advanced Topics in Algebra인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 CFT-type의 단순하고 C_2-코페이니티브인 정점 연산자 대수(VOA)에서 진동수 함수의 S-변환에 가짜 추적 함수가 존재하지 않을 경우, 모든 모듈이 반탄성적(semirigid)이며, 그들의 특성 함수가 진공 특성 함수의 S-변환에 나타남을 확립한다. 주요 추론으로서, 유한 자기동형에 대한 고정점 부분VOA가 C_2-코페이니티브이면 유리적(rational)임을 보여, 유리성 결과를 대칭적인 부분 구조로 확장한다.

ABSTRACT

Let V be a simple C_2-cofinite VOA of CFT-type and we assume that there is a simple module U such that \Hom_V(U\boxtimes V',V) ot=0 where V' is a restricted dual of V. As the author has shown, an S-transformation S(\Psi_V) of a trace function \Psi_V on V corresponding \begin{pmatrix}0&-1\cr 1&0\end{pmatrix} may contain pseudo-trace functions. Our assumption in this paper is that no pseudo-trace functions appear in S(\Psi_V). Under these assumptions, we prove that every V-module W is semirigid and \Psi_W appears in S(\Psi_V). As a corollary of our main theorem, a fixed point subVOA of a rational VOA of CFT-type by an automorphism of finite order becomes rational if fixed point subVOA is C_2-cofinite.

연구 동기 및 목표

• 진공 특성 함수의 S-변환에서 가짜 추적 함수가 존재하지 않을 경우, C_2-코페이니티브인 CFT-type의 VOA에서 모듈의 구조를 조사하기 위해.
• 모든 모듈이 반탄성적임을 보장하는 조건을 확립하여 강한 유한성과 강성 성질을 확보하기 위해.
• 주어진 가정 하에 모든 모듈의 특성 함수가 진공 특성 함수의 S-변환에 포함됨을 증명하기 위해.
• 유한군 작용 하에서 고정점 부분VOA에 대한 유리성 결과를 확장하기 위해, 이들이 C_2-코페이니티브일 경우를 조건으로 한다.

제안 방법

• 진공 추적 함수 Ψ_V의 S-변환 S(Ψ_V)에서 가짜 추적 함수가 존재하지 않는다는 가정을 한다.
• 간단한 모듈 U에 대해 Hom_V(U□V', V) ≠ 0 조건을 이용하여 비퇴화된 쌍대성 구조를 보장한다.
• 함수 해석 기법을 적용하여 S-변환 하에서 추적 함수의 모듈러 성질을 분석한다.
• C_2-코페이니티브성과 CFT-type의 가정에 기반하여 유한차원 표현 이론과 잘 정의된 특성 함수를 확보한다.
• 주어진 제약 조건 하에서 S-변환 S(Ψ_V)가 모든 모듈 특성 함수 Ψ_W를 포함함을 증명한다.
• 모듈의 반탄성성과 S(Ψ_V) 내 특성 함수 포함성을 통해 고정점 부분VOA의 유리성을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 S-변환에서 진공 특성 함수의 S-변환에 표준 추적 함수만 존재하고 가짜 추적 함수가 존재하지 않는 조건은 무엇인가?
• RQ2 S(Ψ_V)에서 가짜 추적 함수의 부재가 C_2-코페이니티브인 CFT-type VOA의 모듈 범주에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 S(Ψ_V)에서 가짜 추적 함수의 부재로부터 모든 모듈의 반탄성성을 유추할 수 있는가?
• RQ4 모든 Ψ_W가 S(Ψ_V)에 포함된다면, 유한 자기동형에 대한 고정점 부분VOA의 유리성이 보장되는가?
• RQ5 C_2-코페이니티브인 유리 VOA의 고정점 부분VOA가 스스로 유리적이 되도록 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• S(Ψ_V)에 가짜 추적 함수가 존재하지 않는다는 가정 하에, 모든 V-모듈 W는 반탄성적이다.
• 모든 모듈 W의 특성 함수 Ψ_W는 진공 특성 함수의 S-변환 S(Ψ_V)의 구성 요소로 나타난다.
• S(Ψ_V)에서 가짜 추적 함수의 부재는 추적 함수의 깔끔한 모듈러 구조를 보장한다.
• 유한 자기동형에 의한 CFT-type의 유리 VOA의 고정점 부분VOA가 C_2-코페이니티브이면 유리적이다.
• C_2-코페이니티브 조건 하에서, 유한군 작용 하에서의 대칭 부분 구조에 대한 유리성 결과가 일반화된다.
• 기능적 프레임워크는 모듈의 강성과 모듈러 S-변환에서 병리적 항목(가짜 추적 함수)의 부재를 직접 연결한다.