[논문 리뷰] Flatness, preorders and general metric spaces

Vincent Schmitt|ArXiv.org|2003. 09. 12.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 기저 범주를 기반으로 한 범주에서의 일반화된 평탄성 개념—${\cal P}$-평탄성—을 도입한다. 이는 $\bar{\mathbb{R}}_+$ (거리 공간)와 $\mathbf{Bool}$ (전순서)를 포함한 일반적인 기저 범주를 다루며, 거리 공간에 대해 ${\cal P}_1$- 및 ${\cal P}_2$-평탄성을 통해 비대칭 완성 두 가지를 특성화한다. 이는 약한 평탄성과 평탄성 필터에 대응하며, 전순서에 대해서는 이상 완성(ideal completion)을 회복함으로써 거리와 순서의 구조 간에 코herent한 범주적 완성을 통합한다.

ABSTRACT

This paper studies a general notion of flatness in the enriched context: P-flatness where the parameter P stands for a class of presheaves. One obtains a completion of a category A by considering the category Flat_P(A) of P-flat presheaves over A. This completion is related to the free cocompletion of A under a class of colimits defined by Kelly. For a category A, for P = P0 the class of all presheaves, Flat_P0(A) is the Cauchy-completion of A. Two classes P1 and P2 of general interest for general metric spaces are considered. The P1- and P2-flatness are investigated and the associated completions are characterized for general metric spaces (enrichemnts over R+) and preorders (enrichments over Bool). We get this way two non-symmetric completions for metric spaces and retrieve the ideal completion for preorders.

연구 동기 및 목표

• 확장된 범주론을 통해 거리 공간과 전순서에서의 완성을 통합하는 범주론적 프레임워크를 개발한다.
• Cauchy-완성 이외의 평탄성 개념을 일반화하기 위해 임의의 프레샤브 클래스에 대한 ${\cal P}$-평탄성을 도입한다.
• 앞선 Cauchy 수열에 기반한 필터를 통해 비대칭 거리 공간에 대한 두 가지 새로운 완성을 ${\cal P}_1$- 및 ${\cal P}_2$-평탄성으로 특성화한다.
• 전순서에 대해 ${\cal P}_1$-완성은 공집합이 아닌 아래집합을, ${\cal P}_2$-완성은 대수적(이상) 완성을 유도함을 보인다.
• 특정 유형의 코일리미트에 대한 자유 코완전화로서 이러한 완성이 유도됨을 확립한다. 이는 켈리의 프레임워크를 일반화한다.

제안 방법

• ${\cal P}$-평탄성을, 양의 임bedding을 따라의 왼쪽 칸 확장을, 프레샤브 클래스 ${\cal P}$에 의해 인덱스화된 모든 극한을 보존하는 성질로 정의한다.
• ${\cal P}$-완성 $Flat_{\cal P}(A)$를 $[A^{op}, {\cal V}]$ 내의 ${\cal P}$-평탄 프레샤브의 전체 부분범주로 구성한다.
• ${\cal V} = \bar{\mathbb{R}}_+$인 경우, ${\cal P}_1$- 및 ${\cal P}_2$-평탄 프레샤브를 거리 공간 위의 약한 평탄성 필터와 평탄성 필터로 해석한다.
• ${\cal V} = \mathbf{Bool}$인 경우, ${\cal P}_1$-평탄 모듈은 공집합이 아닌 아래집합과, ${\cal P}_2$-평탄 모듈은 공집합이 아닌 방향 있는 아래집합과 대응됨을 보인다.
• 켈리의 스타일에 따라 첨수된 극한과 코일리미트를 사용하여 완성의 보편 성질을 도출한다.
• $Flat_{{\cal P}_1}(A)$와 $Flat_{{\cal P}_2}(A)$가 각각 공집합이 아닌, 공집합이 아닌 필터링된 코일리미트에 대한 자유 코완전화임을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거리 공간과 전순서의 완성은 확장된 범주론을 통해 통일적으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 이상 완성의 범주론적 의미는 평탄성의 관점에서 무엇인가?
• RQ3 비대칭 거리 공간의 완성은 일반화된 평탄성 조건으로 어떻게 유도되는가?
• RQ4 ${\cal P}_1$- 및 ${\cal P}_2$-평탄성은 거리 공간에서의 앞선 Cauchy 수열과 어떤 관계가 있는가?
• RQ5 ${\cal P}_1$- 및 ${\cal P}_2$-완성은 범주론 없이 거리 또는 위상적 용어로 순수하게 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 전순서의 ${\cal P}_1$-완성은 포함관계에 따른 공집합이 아닌 아래집합의 부분순서 집합이며, 공집합 집합의 최소 상한을 보존하는 보편 성질을 갖는다.
• 전순서의 ${\cal P}_2$-완성은 대수적(이상) 완성, 즉 공집합이 아닌 방향 있는 아래집합의 부분순서 집합이며, 공집합이 아닌 방향 있는 집합의 최소 상한을 보존하는 보편 성질을 갖는다.
• 확장된 범주론에서 $\bar{\mathbb{R}}_+$를 기반으로 한 거리 공간에 대해, ${\cal P}_1$-평탄 프레샤브는 약한 평탄성 필터와, ${\cal P}_2$-평탄 프레샤브는 평탄성 필터와 대응되며, 이는 Cauchy 필터를 일반화한다.
• ${\cal P}_2$-완성은 대칭 거리 공간의 경우 Cauchy-완성과 일치하지만, 비대칭인 경우 이중 완성과 다릅니다.
• 거리 공간의 ${\cal P}_1$- 및 ${\cal P}_2$-완성은 앞선 Cauchy 수열의 코일리미트로 기술되며, 이에 대응하는 모듈은 각각 약한 평탄성 필터와 평탄성 필터이다.
• $Flat_{{\cal P}_1}(A)$의 보편 성질은, 공집합 집합의 최소 상한을 보존하는 임의의 순서를 유지하는 사상이 $A$에서 이 완성으로 유일하게 연장된다는 것을 보장한다.