[논문 리뷰] Floer homology and Lagrangian concordance

Baptiste Chantraine, Georgios Dimitroglou Rizell외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 17.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 33인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정확한 라그랑주 막힘을 갖는 레이지언드르 부분다양체 사이의 라그랑주 협조가 이중선형화된 레이지언드르 접촉 코homology 위에 동형사를 유도함을 증명하며, 모든 차원에서 역전할 수 없는 협조의 존재를 입증한다. 또한, 타이트한 접촉 3차원 구에서 레이지언드르 뭉치에서 자신으로의 모든 정확한 라그랑주 협조가 레이지언드르 동치의 흔적임을 분류한다.

ABSTRACT

We derive constraints on Lagrangian concordances from Legendrian submanifolds of the standard contact sphere admitting exact Lagrangian fillings. More precisely, we show that such a concordance induces an isomorphism on the level of bilinearised Legendrian contact cohomology. This is used to prove the existence of non-invertible exact Lagrangian concordances in all dimensions. In addition, using a result of Eliashberg-Polterovich, we completely classify exact Lagrangian concordances from the Legendrian unknot to itself in the tight contact-three sphere: every such concordance is the trace of a Legendrian isotopy. We also discuss a high dimensional topological result related to this classification.

연구 동기 및 목표

• 표준 접촉 3차원 구에서 레이지언드르 부분다양체 사이의 라그랑주 협조에서의 강성 현상 이해.
• 부정적 끝이 정확한 라그랑주 막힘을 갖는 경우, 이중선형화된 레이지언드르 접촉 코homology를 사용하여 협조에 가해지는 제약 조건 유도.
• 모든 차원에서 비역전 가능한 정확한 라그랑주 협조의 존재 증명.
• 타이트한 접촉 3차원 구에서 레이지언드르 뭇치에서 자신으로의 정확한 라그랑주 협조를 완전히 분류.
• 스핀 구조를 통한 협조 분류와 관련된 고차원 위상수학적 결과 수립.

제안 방법

• 정확한 라그랑주 막힘에 의해 유도되는 증강을 갖는 레이지언드르 부분다양체에 대한 이중선형화된 레이지언드르 접촉 코homology를 불변량으로 사용.
• 정리 1.1의 적용: 정확한 막힘에 의해 유도된 증강에 대해, 라그랑주 협조가 이중선형화된 코homology 위에 동형사를 유도함을 나타내는 정리.
• 쿠엔트 타입의 공식(정리 2.11)을 사용하여, 구의 코homology와의 텐서곱을 통해 돌린 레이지언드르 부분다양체의 코homology 계산.
• 기존의 예인 레이지언드르 뭉치 $\Lambda_{m(9_{46})}$에 대한 $S^m$-스핀 작용을 통해 고차원 예를 생성하는 레이지언드르 부분다양체의 구성.
• 부정적 끝이 느슨한 경우 정확한 라그랑주 코브로서드에 대한 $h$-원리의 사용을 통해, 느슨하지 않은 막힘을 갖는 레이지언드르의 경우에 국한.
• 엘리아샤버그-폴터비치 결과의 적용을 통해, 3차원에서 레이지언드르 뭇치에서 자신으로의 협조가 동치의 흔적임을 분류.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확한 막힘이 있는 레이지언드르 부분다양체 사이의 라그랑주 협조가 비역전 가능할 수 있는가?
• RQ2 이중선형화된 레이지언드르 접촉 코homology는 라그랑주 협조에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ3 모든 정확한 라그랑주 협조가 $S^3$ 내에서 레이지언드르 뭇치에서 자신으로의 동치의 흔적인가?
• RQ4 레이지언드르 부분다양체의 $S^m$-스핀 작용에 따라 이중선형화된 코homology는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 고차원에서 역전할 수 없는 협조의 존재에 대해 어떤 위상수학적 장벽이 발생하는가?

주요 결과

• 정확한 막힘이 있는 레이지언드르 부분다양체에서의 라그랑주 협조는 이러한 막힘에 의해 유도된 증강에 대해 이중선형화된 레이지언드르 접촉 코homology 위에 동형사를 유도한다.
• 모든 차원에서 비역전 가능한 정확한 라그랑주 협조가 존재하며, 이는 역전할 수 없는 협조가 코homology 제약을 위반할 수 있음을 보여주는 예를 구성함으로써 입증된다.
• 타이트한 접촉 3차원 구에서, 레이지언드르 뭇치에서 자신으로의 모든 정확한 라그랑주 협조는 레이지언드르 동치의 흔적이다.
• $\Lambda_{m(9_{46})}$의 $S^m$-스핀 레이지언드르 부분다양체는 스핀 뭇치로의 협조를 갖지만 반대로 그렇지 않으며, 이는 $LCH^{-1}_{\varepsilon_0,\varepsilon_1}(\Sigma_{S^m}\Lambda) \neq 0$이기 때문이다.
• $m_1, \dots, m_k \in \mathbb{N}$에 대해, $S^1 \times S^{m_1} \times \cdots \times S^{m_k}$와 디피오모르픽한 막힘을 갖는 레이지언드르 부분다양체 $\Lambda_1, \Lambda_2$가 존재하여, $\Lambda_1$에서 $\Lambda_2$로의 협조는 존재하지만 반대 방향으로는 존재하지 않는다.
• 모든 증강 쌍에 대해, 레이지언드르 $\Sigma_{S^m}\Lambda_{0}$의 이중선형화된 코homology는 음의 차수에서 0이 되며, 이는 소스가 비자명한 음의 코homology를 갖는 경우 역전된 협조의 존재를 차단한다.