[논문 리뷰] Floer homology on the universal cover, a proof of Audin's conjecture and other constraints on Lagrangian submanifolds

Mihai Damian|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 17.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 22인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 심플렉틱 다양체 내의 단조형 라그랑주 부분다양체의 기본 커버 위에서 새로운 버전의 플로어 homology를 도입하며, 이러한 라그랑주 부분다양체의 기본 커버에서 홀수 차수 호몰로지가 영이면 그들의 마스로프 수 $N_L = 2$임을 증명한다. 또한 위상적 제약 조건을 설정한다: $N_L = n+1$이면 $L$은 구 또는 구를 섬유로 하는 원주에 대한 피브리케이션과 동형이며, 이는 단조형 경우에서 오디안의 추측을 해결한다.

ABSTRACT

We establish a new version of Floer homology for monotone Lagrangian submanifolds and apply it to prove the following (generalized) version of Audin's conjecture : if $L$ is an aspherical manifold which admits a monotone Lagrangian embedding in ${\bf C^{n}}$, then its Maslov number equals $2$. We also prove other results on the topology of monotone Lagrangian submanifolds $L\subset M$ of maximal Maslov number under the hypothesis that they are displaceable through a Hamiltonian isotopy.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 다양체 내 단조형 라그랑주 부분다양체의 기본 커버 위에서 새로운 플로어 호몰로지 이론을 수립하는 것.
• 기본 커버에서 홀수 차수 호몰로지가 영이면 마스로프 수 $N_L = 2$로 강제됨을 증명하는 것.
• 최대 마스로프 수 $N_L = n+1$ 또는 $N_L = n$인 라그랑주 부분다양체의 위상적 특성화를 제공하는 것.
• $\mathbb{C}^n$ 및 관련 심플렉틱 다양체 내 단조형 라그랑주 부분다양체에 대해 오디안의 추측을 해결하는 것.
• 마스로프 클래스가 영인 $T^*\mathbb{S}^{2k+1}$ 내의 정확한 라그랑주 부분다양체가 $\mathbb{S}^{2k+1}$와 동형임을 보이는 것.

제안 방법

• 라그랑주 부분다양체의 기본 커버를 사용하여 새로운 플로어 호몰로지의 버전을 구성하는 것.
• 기본 커버에서 홀수 차수 호몰로지의 영성으로 인해 마스로프 지수를 제약하고 $N_L = 2$로 강제하는 것.
• $N_L = n+1$일 때 피브리케이션과 호모토피 유형을 분석하기 위해 호모토피군의 장점 정렬을 적용하는 것.
• $\mathbb{C}^n$ 또는 $\mathbb{CP}^n$ 내 단조형 라그랑주 부분다양체가 해밀토니안 이sov의를 통해 이동 가능하다는 사실을 활용하여 $\mathbb{C}^n$을 초월한 결과를 확장하는 것.
• 코탄제인트 번들의 캐논칼 사상 $p: \pi_2(M,L) \to \pi_2(M,K)$를 사용하여 마스로프 수와 심플렉틱 면적 포함 관계를 연결하는 것.
• 푸카, 오, 오타, 온오의 $\mathbb{Z}$-호몰로지 구에 관한 결과를 활용하여 위상적 결론을 강화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 커버에서 홀수 차수 호몰로지가 영인 단조형 라그랑주 부분다양체에 어떤 위상적 제약 조건이 발생하는가?
• RQ2 마스로프 수 $N_L = n+1$인 라그랑주 부분다양체가 호모토피 구로 간주될 수 있는지, 단조형 설정에서 이를 증명할 수 있는가?
• RQ3 마스로프 수가 최대인 $N_L = n+1$인 단조형 라그랑주 부분다양체의 정확한 위상적 구조는 무엇인가?
• RQ4 마스로프 클래스가 영인 $T^*\mathbb{S}^{2k+1}$ 내의 정확한 라그랑주 부분다양체는 표준 구와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 $T^*K$ 내의 라그랑주 부분다양체가 $K$로부터 단조성과 마스로프 수를 어떻게 상속하는가?

주요 결과

• 만약 $L$이 비기하학적 또는 모든 $i$에 대해 $H_{2i+1}(\widetilde{L}; \mathbb{Z}/2) = 0$이면 $N_L = 2$이다.
• $N_L = n+1$이면 $L$은 구 $\mathbb{S}^{2n+1}$과 동형이며, $N_L = n \geq 6$이면 $L$은 $\mathbb{S}^{2n-1}$과 동형인 섬유를 가진 원주에 대한 피브리케이션으로서 동형이다.
• $T^*\mathbb{S}^{2k+1}$ 내의 임의의 정확한 라그랑주 부분다양체에서 마스로프 클래스가 영이면 그 부분다양체는 $\mathbb{S}^{2k+1}$과 동형이다.
• $K = \mathbb{RP}^{2k+1}$일 때, $T^*K$ 내의 임의의 정확한 라그랑주 부분다양체 $L$에서 마스로프 클래스가 영이면 $\pi_1(L) \to \pi_1(K)$는 전사이며, $L$은 $\mathbb{S}^{2k+1}$과 동형이다.
• $N_L = n+1$인 라그랑주 부분다양체의 기본 커버는 호모토피 구이며, $N_L = n \geq 6$이면 기본 커버는 차원 $2n-1$의 호모토피 구이다.
• 결과는 $\mathbb{C}^n$, $\mathbb{CP}^n$, $T^*K$ 등을 포함하여 해밀토니안 이sov의를 통해 컴팩트 부분집합이 이동 가능한 심플렉틱 다양체로 확장된다.