[논문 리뷰] Flows and invariance for elliptic operators

Tom Ter Elst, Derek W. Robinson외 1명|ArXiv.org|2009. 03. 31.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ W^{1,ty} $ 계수를 가진 비정규 타입의 타원형 미분형식 $ H $ 에 의해 생성되는 비정규 타입의 마코프 반군에 대해 $ L^2(\Omega) $-불변성의 특성을 규명한다. $ \Omega $ 에 대한 약간의 정규성 조건 또는 $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 의 코어 성질이 만족될 경우, 모든 $ t > 0 $ 에 대해 $ S_t L^2(\Omega) \subseteq L^2(\Omega) $ 이 성립함과 동시에 반군이 벡터장 $ \sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l $ 가 생성하는 흐름에 대해 불변임을 보인다.

ABSTRACT

Let $S$ be the submarkovian semigroup on $L_2({\bf R}^d)$ generated by a self-adjoint, second-order, divergence-form, elliptic operator $H$ with $W^{1,\infty}$ coefficients $c_{kl}$. Further let $Ω$ be an open subset of ${\bf R}^d$. Under mild conditions we prove that $S$ leaves $L_2(Ω)$ invariant if, and only if, it is invariant under the flows generated by the vector fields $\sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l$ for all $k$.

연구 동기 및 목표

• 비정규 타입의 타원형 미분형식 $ H $ 와 $ W^{1,\infty} $ 계수를 가진 반군 $ S $ 에 대해 $ L^2(\Omega) $ 의 불변성을 특성화하는 것.
• 반군의 불변성과 벡터장 $ \sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l $ 가 생성하는 흐름에 의한 $ L^2(\Omega) $ 의 불변성 간의 연결 고리를 확립하는 것.
• 반군과 흐름의 불변성 간 동치성을 보장하기 위해 $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 가 $ H $ 의 코어임을 보장하는 충분조건를 규명하는 것.
• 흐름이 $ C_c^\infty $-스무스 함수 $ \psi $ 에 의해 생성되는 경우로 특성화를 확장하여, 원래의 흐름 가족과의 동치성을 보여주는 것.

제안 방법

• 자기수반 연산자 $ H $ 를 $ c_{kl} \in W^{1,\infty}(\mathbb{R}^d) $ 를 만족하는 대칭 연산자 $ H_0 = -\sum_{k,l} \partial_k c_{kl} \partial_l $ 의 프리드리히스 확장으로 정의하여, $ H $ 가 비정규 타입의 마코프 반군 $ S $ 를 생성함을 보장한다.
• 벡터장 $ Y_k = \sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l $ 를 도입하며, 이들의 $ L^2 $-폐쇄가 일파라미터 유니터리 군 $ T^{(k)} $ 를 생성하며 이를 '흐름'으로 부른다.
• 스펙트럼 이론과 $ Y_k $ 의 반대칭성에 기반하여, $ S $-불변성에 의해 모든 $ k $ 에 대해 $ T^{(k)} $-불변성이 유도됨을 증명한다.
• 모든 $ \psi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 에 대해 $ \sum_{k,l} (\partial_k \psi) c_{kl} \partial_l $ 가 생성하는 흐름 $ T^\psi $ 에 대한 불변성과 $ T^{(k)} $-불변성 간의 동치성을 확립한다.
• 분할 단위 기법과 컷오프 함수를 통한 국소 근사화를 이용하여, 계수의 $ W^{2,\infty} $-정규성 또는 국소 역행렬성과 스무스함 조건이 만족될 경우 $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 가 $ H $ 의 코어임을 보인다.
• 디리클레 형식의 국소성과 이차형식의 닫힘 성질을 활용하여 국소 연산자와 전역 연산자 간의 불변성 성질을 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정규 타입의 타원형 미분형식 $ H $ 가 생성하는 반군 $ S $ 가 $ L^2(\Omega) $ 에서 불변이 되기 위한 조건는 무엇인가?
• RQ2 반군 $ S $ 에 의한 $ L^2(\Omega) $ 의 불변성은 벡터장 $ \sum_{l=1}^d c_{kl} \partial_l $ 가 생성하는 흐름에 의한 불변성과 동치인가?
• RQ3 $ \Omega $ 나 계수 $ c_{kl} $ 에 어떤 정규성 조건가 필요하여 $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 가 $ H $ 의 코어가 되는가?
• RQ4 $ C_c^\infty $-함수 $ \psi $ 가 생성하는 흐름은 개별 벡터장 $ Y_k $ 가 생성하는 흐름과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 $ L^2(\Omega) $ 의 반군에 의한 불변성은 스무스 테스트 함수와 연관된 흐름 가족에 의한 불변성으로 환원될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ k $ 에 대해 $ S $-불변성과 $ T^{(k)} $-불변성이 동치임을 보였으며, 이는 $ \Omega $ 가 국소 리프시츠 경계를 가지거나 $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 가 $ H $ 의 코어일 경우 성립한다.
• $ T^{(k)} $-불변성과 모든 $ \psi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 에 대해 $ \sum_{k,l} (\partial_k \psi) c_{kl} \partial_l $ 가 생성하는 흐름 $ T^\psi $ 에 대한 불변성 간의 동치성이 성립한다.
• $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 가 $ H $ 의 코어임을 보장하기 위해 $ c_{kl} \in W^{2,\infty}(\mathbb{R}^d) $ 이거나, 더 일반적으로 $ c_{kl} $ 가 국소적으로 $ W^{2,\infty} $ 이며 계수 행렬이 국소적으로 역행렬 가능해야 한다.
• $ W^{1,\infty} $-정규성 조건만으로는 $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 가 $ H $ 의 코어가 되지 않음을 보여주는 반례가 존재한다. 예를 들어 $ \delta \in [1/2, 3/4) $ 일 때 $ c(x) = |x|^{2\delta}(1+x^2)^{-\delta} $ 인 1차원 연산자를 고려할 수 있다.
• 코어 성질은 컷오프 함수를 사용한 분할 단위 기법과 국소적으로 $ H $ 를 $ H_1 $ 과 $ H_2 $ 로 확장함으로써 증명되며, 이는 $ C_c^\infty(\mathbb{R}^d) $ 가 $ D(H) $ 에 밀도를 이룸을 보장한다.
• 증명은 디리클레 형식의 국소성과 관련된 사실에 기반하며, 집합 $ U $ 에서 $ H $-불변성이 성립하면 해당 국소 연산자에 대해서도 $ H $-불변성이 성립함을 보여주며, 이를 통해 전역 근사화가 가능하다.