[논문 리뷰] Fluctuation identities for omega-killed Markov additive processes and dividend problem

Irmina Czarna, Adam Kaszubowski외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 21.

Probability and Risk Models참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상태와 환경에 따라 달라지는 이변량 강도 $\omega(x,i)$를 가진 스펙트르 알 수 없는 마코프 추가 과정(MAPs)의 지수적 살해를 고려하여 일반화된 스케일 행렬 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ 및 $\mathcal{Z}^{(\omega)}$를 도입한다. 이는 $\omega$-살해된 MAPs에 대한 변동 항등식과 리졸베ント 방정식을 수립하며, 고전적 스케일 행렬 이론을 마코프 조절 레비 과정으로 확장하고, 배당 문제와 리스크 이론의 오메가 모델에의 적용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we solve the exit problems for an one-sided Markov additive process (MAP) which is exponentially killed with a bivariate killing intensity $ω(\cdot,\cdot)$ dependent on the present level of the process and the present state of the environment. Moreover, we analyze respective resolvents. All identities are given in terms of new generalizations of classical scale matrices for the MAP. We also remark on a number of applications of the obtained identities to (controlled) insurance risk processes. In particular, we show that our results can be applied to the so-called Omega model, where bankruptcy occurs at rate $ω(\cdot,\cdot)$ when the surplus process becomes negative. Finally, we consider the Markov modulated Brownian motion (MMBM) and present the results for the particular choice of piecewise intensity function $ω(\cdot,\cdot)$.

연구 동기 및 목표

• 상태와 환경에 따라 달라지는 살해 강도를 가진 $\omega$-살해 조건 하에서 고전적 스케일 행렬 이론을 마코프 추가 과정(MAPs)으로 일반화하는 것.
• $\omega$-살해된 MAPs에 대한 변동 항등식과 리졸베ント 방정식을 유도하여 레비 과정의 결과를 마코프 조절 프레임워크로 확장하는 것.
• 통제된 리스크 과정에서 최적의 배당 문제와 파산 관련 퇴출 문제를 해결하기 위한 이론적 기초를 마련하는 것.
• 새로운 $\omega$-스케일 행렬과 오메가 모델 간의 관계를 수립하는 것. 여기서 파산은 순자산이 음수일 때 강도 $\omega(x,i)$로 발생한다.
• 조각별로 일정한 $\omega(x,i)$를 가진 마코프 조절 브라운 운동(MMBM)의 경우를 분석하여 명시적 해와 수치적 예시를 제공하는 것.

제안 방법

• 상태 $x$와 환경 상태 $i$에 따라 달라지는 지수적 살해 강도 $\omega(x,i)$를 가진 스펙트르 알 수 없는 MAPs를 $\omega$-살해된 MAPs로 정의한다.
• 살해 강도와 고전적 스케일 행렬을 포함하는 적분 방정식의 해로서 $\omega$-스케일 행렬 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ 및 $\mathcal{Z}^{(\omega)}$를 도입한다.
• 잠재 측도와 $\omega$-살해 조건 하의 리졸베ント 연산자를 사용하여 구간 $[d,c]$에서의 퇴출 문제에 대한 변동 항등식을 유도한다.
• 경계 조건과 점차적 행동(예: $d \to -\infty$, $c \to \infty$)을 설정하여 전역 항등식과 행렬 역행렬을 도출한다.
• 우세 수렴 정리와 행렬 역행렬 기법을 사용하여 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ 및 $\mathcal{Z}^{(\omega)}$의 극한 형태를 유도한다.
• 조각별 일정한 $\omega(x,i)$를 가진 오메가 모델과 MMBM에 이 프레임워크를 적용하고, 파산 및 배당 함수에 대한 명시적 표현을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레비 과정에 대한 고전적 변동 항등식은 상태 및 환경에 따라 달라지는 살해 조건 하에서 마코프 추가 과정(MAPs)으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 일반화된 $\omega$-스케일 행렬 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ 및 $\mathcal{Z}^{(\omega)}$의 구조적 성질과 만족하는 적분 방정식은 무엇인가?
• RQ3 $\omega$-스케일 행렬은 $\omega$-살해된 MAPs의 잠재 측도와 리졸베ント과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 이 새로운 프레임워크는 최적의 배당 문제와 오메가 모델의 파산 문제를 해결하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ5 조각별 일정한 $\omega(x,i)$를 가진 마코프 조절 브라운 운동의 경우, $\omega$-스케일 행렬의 명시적 형태와 수치적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• $\omega$-스케일 행렬 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ 및 $\mathcal{Z}^{(\omega)}$는 살해 강도 $\omega(x,i)$와 고전적 스케일 행렬을 포함하는 적분 방정식의 해로서 정의된다.
• $\omega$-살해된 MAPs에 대한 변동 항등식은 $\mathcal{W}^{(\omega)}$ 및 $\mathcal{Z}^{(\omega)}$를 통해 표현되며, 이는 레비 과정의 고전적 결과를 일반화한다.
• 상수 $\omega$의 경우, $\omega$-스케일 행렬은 고전적 스케일 행렬로 축소되며, 이는 이전 문헌과의 일致성을 확인한다.
• 다음과 같은 극한 행동 $\mathcal{W}^{(\omega)}(x,d)e^{-\mathbf{R}^{\beta}d}$가 $d \to -\infty$일 때 역행렬이 가능함을 보여주며, 이는 $\mathcal{H}^{(\omega)}(x)$의 구성에 기여한다.
• 오메가 모델에서 파산까지 지속적으로 지급되는 배당의 가치 함수는 $\omega$-스케일 행렬을 사용하여 닫힌 형태로 유도된다.
• 조각별 일정한 $\omega(x,i)$를 가진 마코프 조절 브라운 운동의 경우, 논문은 $\omega$-스케일 행렬과 관련된 파산 확률에 대한 명시적 표현과 수치 계산을 제공한다.