[논문 리뷰] Fluctuation theory for level-dependent Lévy risk processes

Irmina Czarna, José Luis Pérez외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 30.

Probability and Risk Models인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 과정의 현재 수준에 따라 변화하는 드리프트를 가지는 수준 의존적 Lévy 위험 과정에 대한 변동 이론을 개발한다. 다중 재굴절 및 일반적인 수준 의존적 Lévy 과정에 대해 스케일 함수를 도입하여, 그 도함수가 볼테라 적분 방정식을 만족하고, 이 함수들을 통해 파산 확률과 출구 문제에 대한 명시적 표현을 가능하게 한다.

ABSTRACT

A level-dependent Lévy process solves the stochastic differential equation $dU(t) = dX(t)-ϕ(U(t)) dt$, where $X$ is a spectrally negative Lévy process. A special case is a multi-refracted Lévy process with $ϕ_k(x)=\sum_{j=1}^kδ_j1_{\{x\geq b_j\}}$. A general rate function $ϕ$ that is non-decreasing and continuously differentiable is also considered. We discuss solutions of the above stochastic differential equation and investigate the so-called scale functions, which are counterparts of the scale functions from the theory of Lévy processes. We show how fluctuation identities for $U$ can be expressed via these scale functions. We demonstrate that the derivatives of the scale functions are solutions of Volterra integral equations.

연구 동기 및 목표

• 상태에 따라 변화하는 드리프트를 가지는 수준 의존적 Lévy 위험 과정으로 변동 이론을 확장하기.
• 비감소적이고 국소 리프시츠 조건을 만족하는 $ \phi $에 대해 SDE $ dU(t) = dX(t) - \phi(U(t))\,dt $ 의 해가 존재하고 유일함을 보장하기.
• 다중 재굴절 및 일반적인 수준 의존적 케이스에 대해 스케일 함수 $ w^{(q)} $, $ z^{(q)} $ 및 그 도함수를 정의하고 특성화하기.
• 파산 확률과 출구 분포와 같은 주요 위험 양상을 이 스케일 함수들을 통해 표현하기.
• 스케일 함수의 도함수가 제2종 볼테라 적분 방정식을 만족함을 보여주기.

제안 방법

• 스펙트르 알리티브 음수인 $ X $를 갖는 SDE $ dU(t) = dX(t) - \phi(U(t))\,dt $ 의 해로 수준 의존적 Lévy 과정을 수식화하기.
• 조각별로 일정한 $ \phi $를 갖는 다중 재굴절 과정에 대해 $ w_k^{(q)} $, $ z_k^{(q)} $ 스케일 함수를 재귀적 적분 방정식을 사용해 정의하기.
• 비감소적이고 국소 리프시츠 조건을 만족하는 $ \phi $ 하에서 SDE의 해가 존재하고 유일함을 보이기 위해 다중 재굴절 과정으로의 근사 사용하기.
• 스케일 함수와 그 도함수를 사용해 변동 항등식(출구 문제, 해를 풀이, 파산) 유도하기.
• 스케일 함수의 도함수가 제2종 볼테라 적분 방정식을 만족함을 증명하기.
• 라플라스 변환과 수렴 추론을 사용해 일반적인 $ \phi $ 케이스에서의 극한을 정당화하고, 결과 스케일 함수의 연속성과 적분 가능성을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수준 의존적 드리프트를 가지는 Lévy 위험 과정에 대해 변동 이론을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 다중 재굴절 Lévy 과정에 대한 스케일 함수는 무엇이며, 파산 확률과 출구 시간과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 스케일 함수의 도함수는 어떻게 행동하며, 적분 방정식으로 특성화할 수 있는가?
• RQ4 조각별 일정한 드리프트 함수에서 비롯된 이론을 일반적인 비감소적이고 국소 리프시츠 조건을 만족하는 드리프트 함수로 확장할 수 있는가?
• RQ5 과정 수준이 무한대에 접근할 때 스케일 함수의 극한 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 다중 재굴절 과정에 대해 스케일 함수 $ w_k^{(q)} $ 및 $ z_k^{(q)} $ 의 도함수는 제2종 볼테라 적분 방정식을 만족한다.
• 다중 재굴절 케이스에서 스케일 함수 $ w_k^{(q)}(\infty) $ 는 명시적으로 $ \frac{1 - \sum_{j=1}^k \delta_j w_{j-1}^{(q)}(b_j)}{\mathbb{E}[X(1)] - \sum_{j=1}^k \delta_j} $ 로 주어진다.
• 비감소적이고 국소 리프시츠 조건을 만족하는 일반적인 $ \phi $ 케이스에서 스케일 함수 $ w^{(q)} $, $ z^{(q)} $ 는 다중 재굴절 과정으로의 근사의 극한으로 얻어진다.
• 일반 스케일 함수의 도함수 역시 제2종 볼테라 적분 방정식을 만족한다.
• 파산 확률과 출구 분포는 스케일 함수 $ w^{(q)} $ 및 $ z^{(q)} $ 를 통해 명시적으로 표현된다.
• 스케일 함수의 도함수 $ W^{(q)\prime} $ 의 라플라스 변환은 $ \int_0^\infty e^{-sx} W^{(q)\prime}(x)\,dx = \frac{s}{\psi(s) - q} - W^{(q)}(0) $ 를 만족하며, 이는 수렴 증명에 핵심적인 역할을 한다.