[논문 리뷰] Fluctuations Of Linear Spectral Statistics Of Deformed Wigner Matrices

Sandrine Dallaporta, Maxime Février|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 27.

Random Matrices and Applications참고 문헌 52인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 확률적 대칭 행렬에 정규 분포를 따르는 고정된 대각 행렬이 더해진 변형된 위그너 행렬의 선형 스펙트럼 통계에 대한 가우시안 변동을 확립한다. 자유 확률론과 해석적 방법을 통해 유도된 명시적인 편향 및 분산 항을 포함한 가우시안 분포 수렴을 보여주며, 이는 일반적인 i.i.d. 행렬 요소로 확장되며, 독립적인 GUE 행렬과 고정 행렬 간의 점근적 무한소 자유도를 증명한다.

ABSTRACT

We investigate the fluctuations of linear spectral statistics of a Wigner matrix $W\_N$ deformed by a deterministic diagonal perturbation $D\_N$, around a deterministic equivalent which can be expressed in terms of the free convolution between a semicircular distribution and the empirical spectral measure of $D\_N$. We obtain Gaussian fluctuations for test functions in $\mathcal{C}\_c^7(\mathbb{R})$ ($\mathcal{C}\_c^2(\mathbb{R})$ for fluctuations around the mean). Furthermore, we provide as a tool a general method inspired from Shcherbina and Johansson to extend the convergence of the bias if there is a bound on the bias of the trace of the resolvent of a random matrix. Finally, we state and prove an asymptotic infinitesimal freeness result for independent GUE matrices together with a family of deterministic matrices, generalizing the main result from [Shl18].

연구 동기 및 목표

• 변형된 위그너 행렬의 선형 스펙트럼 통계의 변동성을 분석한다.
• 자유 병합과 해석적 트레이스 기법을 사용하여 이 변동성의 편향 및 분산에 대한 명시적 표현을 유도한다.
• 유한한 네 번째 모멘트를 가지는 일반적인 i.i.d. 요소로까지 변동 결과를 확장한다.
• 독립적인 GUE 행렬과 고정 행렬 간의 점근적 무한소 자유도를 확립한다.
• 트레이스 변동성의 유계성 조건 하에서 해석적 트레이스 편향 수렴을 확장하는 일반적인 방법을 제공한다.

제안 방법

• 변형된 위그너 행렬의 선형 스펙트럼 통계를 분석하기 위해 스틸체스 변환과 해석적 트레이스를 사용한다.
• 특히 자유 병합을 활용하여 스펙트럼 측도의 결정적 등가를 표현하기 위해 자유 확률 도구를 적용한다.
• 위크 공식과 비교형 분할의 조합론적 분석을 통해 GUE 행렬의 모멘트를 계산한다.
• 트레이스의 해석적 전개를 통해 편향 및 분산 항을 도출하며, 그 변동성에 대한 경계를 활용한다.
• 크레바라스 보조법과 순환 치환을 사용하여 자유 확률 이론의 조합론적 구조를 행렬 트레이스와 연결한다.
• 매트릭스 튜플의 $*$-분포를 반원법 및 고정 스펙트럼 측도의 자유 병합과 비교함으로써 점근적 무한소 자유도를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 i.i.d. 요소를 가지는 변형된 위그너 행렬의 선형 스펙트럼 통계의 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ2 이 통계의 편향 및 분산은 행렬 요소의 네 번째 모멘트와 시험 함수의 연속성 조건에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 트레이스 변동성의 유계성 조건 하에서 해석적 트레이스 편향 수렴을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 독립적인 GUE 행렬과 고정 행렬이 점근적으로 무한소 자유도가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 변형된 위그너 행렬의 스펙트럼 측도에 대한 결정적 등가의 정확한 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 시험 함수가 $\mathcal{C}_{c}^{7}(\mathbb{R})$ 에 속할 경우, 변형된 위그너 행렬의 선형 스펙트럼 통계는 $N^{-1}$-스케일의 가우시안 변동을 보이며, 명시적인 편향 및 분산 항이 존재한다.
• 한계 분산 $V_0(\varphi)$ 는 반원법의 스틸체스 변환을 통해 표현되며, 행렬 요소의 네 번째 모멘트에 의존하는 항을 포함한다.
• 편향 항 $b_0(\varphi)$ 는 스틸체스 변환의 도함수에 의존하며, 요소의 분산 프로파일과 초과첨도를 포함한다.
• 논문은 트레이스 변동성의 유계성 조건 하에서 해석적 트레이스 편향 수렴을 확장하는 일반적인 방법을 제공한다.
• 독립적인 GUE 행렬과 고정 행렬 간에 점근적 무한소 자유도가 성립하며, 공동 $*$-분포는 반원법 및 고정 스펙트럼 측도의 자유 병합으로 $O(N^{-2})$ 오차 수준에서 수렴한다.
• 이 결과는 샤르비나의 작업 [Shl18] 을 일반화하여 무한소 자유도를 비가우시안 요소와 더 일반적인 고정 행렬 가족으로 확장한다.