[논문 리뷰] Fluctuations of Omega-killed spectrally negative Lévy processes

Bo Li, Zbigniew Palmowski|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 25.

Probability and Risk Models참고 문헌 17인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 상태에 따라 변화하는 지수적 죽음 강도 ω(x)를 갖는 스펙트르 알 수 없는 Lévy 과정에 대한 출구 문제를 해결하기 위해 일반화된 척도 함수, 즉 ω-척도 함수를 도입한다. 마르코프 성질, 포아송 과정 성질 및 변동 이론을 활용하여 점유 시간과 재해분수에 대한 폐쇄형 표현식을 유도함으로써, 고전 결과를 ω-죽은 과정으로 확장하고, 리스크 이론과 자기유사 과정 분야에의 적용 가능성을 제시한다.

ABSTRACT

In this paper we solve the exit problems for (reflected) spectrally negative Lévy processes, which are exponentially killed with a killing intensity dependent on the present state of the process and analyze respective resolvents. All identities are given in terms of new generalizations of scale functions. For the particular cases $ω(x)=q$ and $ω(x)=q \mathbf{1}_{(a,b)}(x)$, we obtain results for the classical exit problems and the Laplace transforms of the occupation times in a given interval, until first passage times, respectively. Our results can also be applied to find the bankruptcy probability in the so-called Omega model, where bankruptcy occurs at rate $ω(x)$ when the Lévy surplus process is at level $x<0$. Finally, we apply the these results to obtain some exit identities for a spectrally positive self-similar Markov processes. The main method throughout all the proofs relies on the classical fluctuation identities for Lévy processes, the Markov property and some basic properties of a Poisson process.

연구 동기 및 목표

• 스펙트르 알 수 없는 Lévy 과정에 대한 고전적 변동 항등식을 강도 ω(x)의 상태에 따라 변화하는 죽음의 경우로 일반화하기.
• 점유 시간의 라플라스 변환과 출구 분포를 특징짓는 새로운 척도 함수 클래스인 ω-척도 함수를 개발하기.
• ω-죽은 과정 하에서 재해분수 및 출구 항등식에 대한 명시적 공식을 제공하여 리스크 이론과 제1통과 문제의 결과를 확장하기.
• 파산이 음수인 보유자금일 때 강도 ω(x)로 발생하는 오메가 모델과 자기유사 마르코프 과정에 이 틀을 적용하기.
• 포아송 과정과 마르코프 성질에 기반한 새로운 분석 방법을 수립하여 위erner–Hopf 및 궤적 이론에 대한 대안을 제공하기.

제안 방법

• 클래식 척도 함수 W(x)와 죽음 강도 ω(x)를 포함하는 볼테라 적분방정식의 해로서 ω-척도 함수 W^(ω)(x)와 Z^(ω)(x)를 정의하기.
• 마르코프 성질과 비균일 포아송 과정 성질을 이용하여 ω(X_t)에 의해 가중된 점유 시간의 라플라스 변환을 도출하기.
• ω-척도 함수를 포함하는 적분방정식을 풀어 흠집이 있는 및 반사된 스펙트르 알 수 없는 Lévy 과정에 대한 출구 항등식을 유도하기.
• 경계 조건을 이용하여 정규화 상수를 결정하고 적분방정식을 풀어 ω-죽은 과정에 대한 재해분수 항등식을 수립하기.
• ω(x) = q for x < 0로 설정하여 오메가 모델에 이론을 적용함으로써 파산 확률에 대한 명시적 표현을 도출하기.
• 시간 변화 기법과 ω-척도 함수 틀을 활용하여 결과를 자기유사 과정으로 확장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트르 알 수 없는 Lévy 과정에 대한 고전적 출구 문제는 어떻게 상태에 따라 변화하는 죽음 강도 ω(x)를 포함하도록 일반화할 수 있는가?
• RQ2 ω-죽음 하에서, 첫 번째 통과 이전까지 구간 [0,c]에서의 점유 시간의 명시적 라플라스 변환은 무엇인가?
• RQ3 상태에 따라 변화하는 죽음이 존재하는 상황에서 ω-척도 함수 W^(ω)(x)와 Z^(ω)(x)는 고전적 척도 함수를 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 ω-죽은 스펙트르 알 수 없는 Lévy 과정에 대한 재해분수 연산자의 구조는 어떠한가?
• RQ5 이 틀은 상태에 따라 변화하는 붕괴 강도를 갖는 오메가 모델에서 파산 확률을 유도하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• ω-척도 함수 W^(ω)(x)와 Z^(ω)(x)는 고전적 척도 함수 W(x)와 죽음 강도 ω(x)를 포함하는 볼테라 적분방정식의 유일한 해로서 정의된다.
• 상수 ω(x) = q일 경우, ω-척도 함수는 고전적 척도 함수 W^(q)(x)와 Z^(q)(x)로 감소하여 알려진 이원측 출구 항등식을 복원한다.
• ω(x) = q·1_(a,b)(x)일 경우, ω-척도 함수는 W^(p)(x)를 포함하는 적분항을 통해 고전적 척도 함수에 대한 보정으로 표현된다.
• 첫 번째 통과 이전까지 [0,c]에서의 점유 시간의 라플라스 변환은 E_x[exp(−∫₀^{τ_c^+} ω(X_t)dt); τ_c^+ < τ_0^−] = Z^(ω)(x)/Z^(ω)(c) × W^(ω)(c) − W^(ω)(x)로 주어지며, 명시적 적분 표현식을 갖는다.
• ω-죽은 과정에 대한 재해분수 L^(ω)는 L^(ω)f(x) = ∫₀^c f(y) [Z^(ω)(x)/Z^(ω)(c) × W^(ω)(c,y) − W^(ω)(x,y)] dy로 특징지어지며, W^(ω)(x,y)는 ω-척도 함수를 통해 정의된다.
• 이 틀은 오메가 모델에서 파산 확률에 대한 명시적 표현을 도출한다. 이 경우 X_t < 0일 때 파산이 강도 ω(x)로 발생하며, ω(x) = q for x < 0로 설정하고 이를 바탕으로 출구 문제를 해결함으로써 유도된다.