[논문 리뷰] Fluctuations of stable processes and exponential functionals of hypergeometric Levy processes

Alexey Kuznetsov, Juan Carlos Pardo|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 03.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 17인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 초함수 레비 과정의 지수적 기댓값의 멜린 변환과 급수 전개에 대한 명시적 공식을 유도하며, 라무르티-안정 과정과의 연결을 확립한다. 안정 과정의 최대값 분포에 관한 기존 결과에 대해 새로운 간결한 증명을 제공하고, 고차원에서의 반경 안정 과정에 대한 도착 법칙과 마지막 통과 시간에 관한 새로운 결과를 도출한다.

ABSTRACT

We study the distribution and various properties of exponential functionals of hypergeometric Levy processes. We derive an explicit formula for the Mellin transform of the exponential functional and give both convergent and asymptotic series expansions of its probability density function. As applications we present a new proof of some of the results on the density of the supremum of a stable process, which were recently obtained by Kuznetsov "On extrema of stable processes" (2010) and Hubalek and Kuznetsov "A convergent series representation for the density of the supremum of a stable process" (2010). We also derive some new results related to (i) the entrance law of the stable process conditioned to stay positive, (ii) the entrance law of the excursion measure of the stable process reflected at its past infimum and (iii) the entrance law and the last passage time of the radial part of n-dimensional symmetric stable process.

연구 동기 및 목표

• 초함수 레비 과정의 지수적 기댓값의 멜린 변환과 급수 표현을 유도하는 것.
• 라무르티 변환을 통해 초함수 과정과 라무르티-안정 과정 간의 연결을 수립하는 것.
• 최근 안정 과정의 최대값 분포에 관한 결과에 대한 새로운 간결한 증명을 제공하는 것.
• 과거 최소값에서 반사된 안정 과정의 퇴행 측도의 도착 법칙에 관한 새로운 결과를 도출하는 것.
• n차원 대칭 안정 과정의 반경 부분의 마지막 통과 시간과 도착 법칙의 분포적 성질을 분석하는 것.

제안 방법

• 허용 가능한 집합 A에 속하는 매개수를 가진 감마 함수 비율을 포함하는 라플라스 지수 ψ(z)를 정의하여, 초함수 레비 과정의 지수로 설정하는 것.
• 라무르티 변환을 사용하여 초함수 과정과 라무르티-안정 과정을 연결함으로써, 지수적 기댓값에 관한 결과를 이전할 수 있도록 하는 것.
• 이중 감마 함수와 반사 공식을 포함하는 적분 항등식을 사용하여 지수적 기댓값 I의 멜린 변환을 도출하는 것.
• 역 멜린 변환 기법을 적용하여 I의 밀도에 대한 수렴 급수 전개와 점근 급수 전개를 얻는 것.
• 안정 과정의 척도 성질과 자기유사성을 활용하여 문제를 단위 척도 사례(예: U₂)로 축소하는 것.
• 멜린 변환의 잔여물을 계산하여 마지막 통과 시간과 도착 법칙의 밀도에 대한 급수 표현을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초함수 레비 과정의 지수적 기댓값의 명시적 멜린 변환은 무엇인가?
• RQ2 지수적 기댓값의 밀도에 대한 수렴 급수 전개와 점근 급수 전개는 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 초함수 과정과 라무르티-안정 과정 간의 연결을 활용하여 안정 과정의 최대값에 관한 기존 결과를 더 직접적으로 재유도할 수 있는가?
• RQ4 과거 최소값에서 반사된 안정 과정의 퇴행 측도의 도착 법칙은 무엇인가?
• RQ5 n차원 대칭 안정 과정의 반경 부분의 마지막 통과 시간의 분포적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 지수적 기댓값 I의 멜린 변환은 감마 함수의 비율로 주어진다: E[I^{s-1}] = Γ(s)Γ((d−αs)/2)/Γ((d−α)/2)Γ(1−α(1−s)/2).
• 지수적 기댓값의 밀도는 역 멜린 변환과 잔여물 계산을 통해 유도된 수렴 급수 전개와 점근 급수 전개를 모두 갖는다.
• d차원에서의 반경 안정 과정의 마지막 통과 시간 U₂의 밀도는 α<1일 때 Γ(α(1+n)/2)와 Γ((d+αn)/2)를 포함하는 급수로 표현되며, α>1일 때는 t^{-2m/α}에 대한 멱급수로 표현된다.
• 반사된 안정 과정의 퇴행 측도의 도착 법칙은 라무르티 변환과 관련 레비 과정의 지수적 기댓값을 사용하여 도출된다.
• 마지막 통과 시간 U₂는 척도 성질 b^α U_r =_d U_{br}를 가지며, 분석을 단위 척도로 축소할 수 있다.
• 마지막 통과 시간 U₂의 멜린 변환은 s = -n과 s = (d+2m)/α에서 단순 극을 가지며, 감마 함수 항등식을 통해 잔여물을 계산할 수 있다.