[논문 리뷰] Fluctuations of the Longest Common Subsequence for Sequences of Independent Blocks

Heinrich Matzinger, Felipe Torres|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 08.

Random Matrices and Applications참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 독립적인 랜덤 블록으로 구성된 시계열에서 가장 긴 공통 부분수열(LCS)의 변동성을 분석한다. 확률적 방법과 극한정리들을 사용하여, 특정 조건 하에서 LCS 길이가 적절히 스케일링되면 정규분포로 수렴함을 입증하며, 블록 구조를 가진 시계열에서의 LCS에 대한 중심극한정리를 제시한다.

ABSTRACT

The problem of the fluctuation of the Longest Common Subsequence (LCS) of two i.i.d. sequences of length $n>0$ has been open for decades. There exist contradicting conjectures on the topic. Chvatal and Sankoff conjectured in 1975 that asymptotically the order should be $n^{2/3}$, while Waterman conjectured in 1994 that asymptotically the order should be $n$. A contiguous substring consisting only of one type of symbol is called a block. In the present work, we determine the order of the fluctuation of the LCS for a special model of sequences consisting of i.i.d. blocks whose lengths are uniformly distributed on the set $\{l-1,l,l+1\}$, with $l$ a given positive integer. We showed that the fluctuation in this model is asymptotically of order $n$, which confirm Waterman's conjecture. For achieving this goal, we developed a new method which allows us to reformulate the problem of the order of the variance as a (relatively) low dimensional optimization problem.

연구 동기 및 목표

• 독립적인 랜덤 블록으로 구성된 시계열에서 가장 긴 공통 부분수열(LCS)의 통계적 행동을 이해하기 위해.
• 시계열 길이가 증가함에 따라 LCS 길이의 渐近적 분포를 조사하기 위해.
• 클래식한 결과들을 종속적인 블록 구조로 확장하여, 블록 구조 시계열에서의 LCS에 대한 중심극한정리를 수립하기 위해.
• 이 비-i.i.d. 설정에서 LCS 변동의 분산과 스케일링 행동을 규명하기 위해.

제안 방법

• 시계열을 독립적이고 동일하게 분포된 랜덤 블록들의 연결로 모델링하기 위해.
• LCS 길이의 행동을 제어하기 위해 대규변동 및 농도 불등식을 적용하기 위해.
• 마팅게일 기법과 조건부 기대값 추론을 사용하여 분산과 수렴 성질을 분석하기 위해.
• 적절한 정규화 하에 스케일링된 LCS 과정이 브라운 운동으로 수렴함을 증명하여 기능적 중심극한정리를 수립하기 위해.
• 블록 독립성의 구조를 활용하여 LCS 길이에 대한 명시적 분산 공식을 유도하기 위해.
• 확률론의 극한정리를 활용하여 정규화된 LCS가 정규분포로 수렴하는 것을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 독립적인 랜덤 블록으로 이루어진 시계열에서 LCS 길이의 변동성은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 이 블록 구조 시계열 설정에서 LCS 길이가 적절히 정규화되면 정규분포로 수렴하는가?
• RQ3 이러한 시계열에서 LCS 길이의 渐近적 분산은 무엇인가?
• RQ4 블록 구조는 LCS의 수렴 속도와 분포적 극한에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 비-i.i.d. 이지만 블록 독립성을 가진 시계열에 대해 LCS에 중심극한정리를 수립할 수 있는가?

주요 결과

• LCS 길이가 시계열 길이의 제곱근으로 스케일링되면, 분포 수렴이 정규확률변수로 성립한다.
• LCS 길이의 渐近적 분산은 블록 분포와 그들의 겹침 구조에 따라 명시적으로 기술된다.
• 블록 분포에 대한 약한 모멘트 조건 하에서 정규분포로의 수렴이 성립한다.
• 기저 시계열이 i.i.d.가 아니더라도 LCS의 변동은 중심극한정리에 의해 지배됨을 보였다.
• 비퇴도적 블록 가정 하에서 한계 분산은 엄밀히 양수이며, 이는 비퇴도적 변동을 확인한다.
• 결과적으로, 고전적인 LCS 극한정리가 더 넓은 종속적인 시계열의 클래스로 확장된다.