[논문 리뷰] Fluid dynamic limit of Boltzmann equation for granular hard--spheres in a nearly elastic regime

Ricardo J. Alonso, Bertrand Lods외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 12.

Gas Dynamics and Kinetic Theory참고 문헌 42인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 거의 탄성 영역에서 비탄성 경질 구체에 대한 볼츠만 방정식으로부터 자발적 일관성 있는 힘 항을 지닌 비압축성 나비에-스토크스-푸아르 계를 엄밀하게 유도한다. 자유 냉각 행동을 다루기 위해 자기유사 스케일링을 도입하고, 쿤델 수 기반의 유체역학적 근사에서, 매크로스코픽 변수에만 의존하는 유체역학적 근사로의 지수적 안정성과 수렴성을 확립하여, 물리적 차원 d ≥ 2에서의 고립입자 기체에 대해 이러한 유형의 첫 번째 유도를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we provide the first rigorous derivation of hydrodynamic equations from the Boltzmann equation for inelastic hard spheres with small inelasticity. The hydrodynamic system that we obtain is an incompressible Navier-Stokes-Fourier system with self-consistent forcing terms and is thus the first hydrodynamic system that properly describes rapid granular flows. To do that, we write our Boltzmann equation in nondimensional form introducing the dimensionless Knudsen number which is intended to tend to 0. The difficulties are then manyfold, the first one coming from the fact that the original Boltzmann equation is free-cooling and thus requires a self-similar change of variables to work with an equation that has an homogeneous steady state. The latter is not explicit and is heavy-tailed, which is a major obstacle to adapt energy estimates and spectral analysis. One of the main challenges here is to understand the relation between the restitution coefficient (which quantifies the loss of energy at the microscopic level) and the Knudsen number. This is done identifying the correct nearly elastic regime to capture nontrivial hydrodynamic behavior. We are then able to prove exponential stability uniformly with respect to the Knudsen number of the solution of our rescaled Boltzmann equation in a close to equilibrium regime. Finally, we prove that our solution to the Boltzmann equation converges in some very specific weak sense towards some hydrodynamic solution which depends on time and space variables only through macroscopic quantities. Such macroscopic quantities are solutions to a suitable modification of the incompressible Navier-Stokes-Fourier system which appears to be new in this context.

연구 동기 및 목표

• 비탄성 볼츠만 방정식으로부터 비탄성 경질 구체에 대한 유체역학 방정식을 유도한다.
• 고립입자 기체에 내재된 자유 냉각 행동의 과제를 자기유사 스케일링을 도입하여 균일한 정적 상태를 달성함으로써 해결한다.
• 쿠드센 수가 0으로 수렴하는 거의 탄성 영역에서의 유체역학 근사 수렴을 확립하여 비자명한 매크로스코픽 역학을 포착한다.
• 쿠드센 수에 대해 균일하게, 균형에 가까운 영역에서 재스케일링된 볼츠만 방정식의 해에 대한 지수적 안정성을 증명한다.
• 한계 시스템이 자발적 일관성 있는 힘 항을 지닌 수정된 비압축성 나비에-스토크스-푸아르 시스템임을 규명하며, d ≥ 2에서 유효하다.

제안 방법

• 쿠드센 수를 차원 없는 수로 사용하여 비탄성 볼츠만 방정식을 재스케일링하고, 유체역학 근사에서 이를 0으로 수렴시킨다.
• 자기유사 변수 변화를 적용하여, 무거운 尾를 지닌 자유 냉각 균일 냉각 상태를 정적 상태로 변환한다.
• 약한 비탄성 영역에서 선형 충돌 연산자를 제어하기 위해 가중 범주 공간에서 스펙트럼 분석과 에너지 추정을 사용한다.
• 균형 주변의 변화를 제어하기 위해 비선형 반복 기법을 사용하고, 유체역학 성분과 그 수직 보완 성분을 추정한다.
• 속도 및 공간 변수를 포함하는 함수 공간에서 약한-* 극한을 통해 해의 컴actness와 수렴성을 확립한다.
• 한계가 운동학 수준에서 유도된 힘 항을 지닌 수정된 비압축성 나비에-스토크스-푸아르 시스템을 만족함을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비탄성 볼츠만 방정식으로부터 거의 탄성 영역에서 비탄성 경질 구체에 대해 유체역학 근사를 엄밀하게 도출할 수 있는가?
• RQ2 자기유사 스케일링을 통해 고립입자 기체의 자유 냉각 행동을 어떻게 유체역학 근사와 조화시킬 수 있는가?
• RQ3 비자명한 유체역학 행동을 얻기 위한 올바른 스케일링 영역은 무엇인가? 특히 복원 계수와 쿤델 수 사이의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 한계 유체역학 시스템의 구조는 무엇이며, 고전적 나비에-스토크스-푸아르 시스템과 어떻게 다를까?
• RQ5 균형에 가까운 영역에서 재스케일링된 볼츠만 방정식의 해는 쿤델 수에 대해 균일하게 지수적 안정성을 가지는가?

주요 결과

• 거의 탄성 영역에서 비탄성 경질 구체에 대한 볼츠만 방정식의 유체역학 근사는 자발적 일관성 있는 힘 항을 지닌 비압축성 나비에-스토크스-푸아르 시스템을 유도한다.
• 이러한 맥락에서 새로운 한계 시스템이며, 운동학적 수식에 부합하는 빠른 고립입자 유동을 적절히 기술한다.
• 균형에 가까운 영역에서 재스케일링된 볼츠만 방정식의 해에 대한 쿤델 수에 대해 균일한 지수적 안정성이 증명된다.
• 볼츠만 방정식의 해는 매크로스코픽 변수에만 의존하는 극한으로 약한 의미에서 수렴하며, 이 극한은 수정된 나비에-스토크스-푸아르 시스템을 만족한다.
• 가중 함수 공간에서 컴팩트니스와 극한의 식별을 통해 수렴이 확립되며, 선형화된 연산자에 대한 균일한 해석적 추정이 제공된다.
• 분석을 통해 가중 $ L^1 $ 및 $ L^2 $ 공간에서 $ C_0 $-반군의 존재를 확인하여 재스케일링된 운동학 방정식의 잘 정의됨을 보장한다.