[논문 리뷰] Fold-Transversal Clifford Gates for Quantum Codes

Nikolas P. Breuckmann, Simon Burton|arXiv (Cornell University)|2022. 02. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 29인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 ZX- dualities를 사용하여 표면 코드에서의 '접기(folding)' 개념을 일반화함으로써, CSS 코드에 대한 접기-수평 클리포드 게이트를 도입한다. 이는 [[30,8,3]] 브링의 코드에서 시간 또는 큐비트 오버헤드 없이 단지 수평 게이트와 큐비트 순열만을 사용하여 고장에 강건한 로그리컬 클리포드 게이트—특히 네 개의 로그리컬 큐비트에 대한 전체 클리포드 군—를 구현할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We generalize the concept of folding from surface codes to CSS codes by considering certain dualities within them. In particular, this gives a general method to implement logical operations in suitable LDPC quantum codes using transversal gates and qubit permutations only. To demonstrate our approach, we specifically consider a [[30, 8, 3]] hyperbolic quantum code called Bring's code. Further, we show that by restricting the logical subspace of Bring's code to four qubits, we can obtain the full Clifford group on that subspace.

연구 동기 및 목표

• 대칭성과 수평 연산을 이용하여 CSS 양자 코드에서 로그리컬 클리포드 게이트를 구현하는 일반적인 방법을 개발하는 것.
• 보조 큐비트를 사용하지 않고 순차적 게이트 실행을 피름으로써 고장에 강건한 양자 계산에서 큐비트 및 시간 오버헤드를 제거하는 것.
• 로지컬 부분공간을 네 개의 큐비트로 제한할 경우 접기-수평 게이트를 통해 전체 클리포드 군이 실현될 수 있음을 보여주는 것.
• 표면 코드에서의 접기 구성법을 일반적인 대칭성 CSS 코드, 특히 LDPC 코드로 일반화하는 것.
• 비국소적 큐비트 연결성을 지원하는 다양한 양자 하드웨어 아키텍처와의 호환성을 보장하는 것.

제안 방법

• CSS 코드에서 Z-체크와 X-체크를 매핑하는 대칭성으로서의 ZX- dualities를 정의함으로써, 접기-수평 게이트의 구축을 가능하게 한다.
• ZX-dualities τ로부터 Hτ 및 Sτ와 같은 허담드형 및 위상형 게이트를 구성하며, 이는 코드의 로그리컬 큐비트에 대해 수평으로 작용한다.
• 큐비트 순열과 접기-수평 게이트를 조합하여 Sp₈(𝔽₂) × C₂와 동형인 군을 생성하며, 이는 전체 로그리컬 공간에 작용한다.
• 로그리컬 부분공간을 라그랑주 부분공간 W로 제한함으로써, 차원이 8인 심플렉틱 부분공간 V를 지원하게 하여 전체 클리포드 군 C₄를 실현한다.
• 컴퓨터 대수 시스템(GAP)을 활용하여 군의 구조와 게이트 생성을 검증함으로써 클리포드 연산에 대해 닫힘을 확인한다.
• 접기-수평 게이트 집합에 단일 CNOT 또는 CZ 게이트를 추가하면, 여덟 개의 로그리컬 큐비트에서 전체 클리포드 군 C₈가 생성됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면 코드에서의 '접기' 개념을 ZX-dualities를 사용하여 일반적인 CSS 코드로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 수평 게이트와 큐비트 순열만으로 낮은 거리의 LDPC 코드에서 전체 클리포드 군을 실현할 수 있는가?
• RQ3 접기-수평 구성법이 고장에 강건한 양자 계산에서 큐비트 및 시간 오버헤드를 모두 피할 수 있는가?
• RQ4 접기-수평 연산만을 사용하여 로그리컬 부분공간을 제한함으로써 더 적은 수의 로그리컬 큐비트에서 전체 클리포드 군을 실현할 수 있는가?
• RQ5 브링의 코드와 같은 대칭성 CSS 코드에서 접기-수평 및 순열 게이트가 생성하는 군의 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 접기-수평 및 순열 게이트가 생성하는 군은 Sp₈(𝔽₂) × C₂와 동형이며, 이는 풍부한 로그리컬 연산의 구조를 확인한다.
• 로그리컬 부분공간을 라그랑주 부분공간으로 제한함으로써, 접기-수평 게이트와 순열만으로 전체 클리포드 군 C₄를 실현할 수 있다.
• 접기-수평 게이트 집합에 단일 CNOT 또는 CZ 게이트를 추가하면, 여덟 개의 로그리컬 큐비트에서 전체 클리포드 군 C₈가 생성된다.
• 이 구성은 고장에 강건하며, 시간 또는 큐비트 오버헤드가 없으며, 어떤 디코딩 방식과도 호환된다.
• 이 방법은 충분히 대칭적인 모든 CSS 코드에 적용 가능하며, 특히 하이퍼볼릭 코드인 브링의 코드와 같은 LDPC 코드에 적합하다.
• 광학적, 모듈러형, 또는 라이드버그 기반 시스템과 같은 비국소적 양자 아키텍처와도 호환되며, 빠른 임의의-대-임의의 연결성을 가능하게 한다.