[논문 리뷰] Foliated groupoids and their infinitesimal data

Madeleine Jotz, Cristián Ortiz|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 22인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 단순 연결인 소스를 가진 리 군oids에서의 곱셈 폴리아션과 그 리 대수oid에서의 IM-폴리아션 사이의 일대일 대응을, 대수oid의 코어에 대한 몫에 대한 평탄한 부분 접속을 이용하여 수립한다. 곱셈 폴리아션의 무한소 데이터는 몫 대수oid 위의 평탄한 접속에 의해 코딩되며, 이는 군oids와 대수oid의 구조 사이의 고전적 대응을 일반화한다.

ABSTRACT

In this work, we study Lie groupoids equipped with multiplicative foliations and the corresponding infinitesimal data. We determine the infinitesimal counterpart of a multiplicative foliation in terms of its core and sides together with a partial connection satisfying special properties, giving rise to the concept of IM-foliation on a Lie algebroid. The main result of this paper shows that if $G$ is a source simply connected Lie groupoid with Lie algebroid $A$, then there exists a one-to-one correspondence between multiplicative foliations on $G$ and IM-foliations on the Lie algebroid $A$.

연구 동기 및 목표

• 곱셈 폴리아션의 무한소 데이터로써 리 군oids에서의 곱셈 폴리아션을 특성화하기.
• 곱셈 폴리아션의 리 대수oid 대응체로써 리 대수oid 위의 IM-폴리아션을 식별하기.
• 소스가 단순 연결인 리 군oids에서의 곱셈 폴리아션과 그 리 대수oid에서의 IM-폴리아션 사이의 일대일 대응을 수립하기.
• 곱셈 폴리아션의 비틀림성 조건이 몫 대수oid 위의 평탄한 부분 접속에 의해 코딩됨을 보여주기.
• 접속 데이터를 사용하여 곱셈 폴리아션의 리 대수oid에 대한 명시적 무한소 재구성 제공하기.

제안 방법

• 군oids의 구조를 탄성 군oids로 올리는 탄성 함자를 사용하여, 곱셈 폴리아션의 리 대수oid를 탄성 대수oid $TA$의 부분대수oid로 식별하기.
• 곱셈 폴리아션 $F_G \subseteq TG$의 코어 $F_c \subseteq A$와 단위 $F_M \subseteq TM$을 정의하고, 둘 다 비틀림성 부분다발임을 보이기.
• 폴리아션된 군oids의 보트 접속에 의해 유도된 몫 $A/F_c$ 위의 평탄한 부분 $F_M$-접속 $\nabla$를 구성하기.
• 폴리아션 $F_G$의 리 대수oid가 $F_M$에 제한된 $TA$와 미분동형이며, $\nabla$-호환성 섹션에 의해 결정됨을 보여주기.
• 폴리아션 $F_G$의 비틀림성 조건이 접속과 코어에 대한 평탄성과 호환성 조건과 동치임을 증명하기.
• 선형 벡터장에 의한 부분다발의 흐름 불변성을 이용하여, 접속이 무한소 수준에서 폴리아션 구조를 유지함을 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 군oids에서의 곱셈 폴리아션의 무한소 대응체는 무엇인가?
• RQ2 코어와 접속 데이터로부터 곱셈 폴리아션의 리 대수oid는 어떻게 재구성할 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건에서 곱셈 부분다발 $F_G \subseteq TG$가 비틀림성인가?
• RQ4 부분 접속의 평탄성이 곱셈 폴리아션을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 소스가 단순 연결인 리 군oids에서의 곱셈 폴리아션과 그 리 대수oid에서의 IM-폴리아션 사이에 일대일 대응이 존재하는가?

주요 결과

• 소스가 단순 연결인 리 군oids $G$에서의 곱셈 폴리아션과 그 리 대수oid $A$에서의 IM-폴리아션 사이에 일대일 대응이 존재한다.
• 곱셈 폴리아션의 무한소 데이터는 폴리아션의 코어인 $F_c$에 대한 몫 $A/F_c$ 위의 평탄한 부분 접속 $\nabla$에 의해 코딩된다.
• 곱셈 폴리아션 $F_G$의 리 대수oid는 $F_M$에 제한된 $TA$와 미분동형이며, $\nabla$-호환성 리프트에 의해 결정된다.
• 폴리아션 $F_G$의 비틀림성 조건은 몫 대수oid $A/F_c$ 위에 유도된 부분 접속 $\nabla$의 평탄성과 동치이다.
• 코어 $F_c \subseteq A$는 리 부분대수oid이며, 단위 $F_M \subseteq TM$은 비틀림성 부분다발을 이룬다. 이 둘은 곱셈 폴리아션의 구조를 이루는 데 필수적이다.
• 이 구성은 리 군에서의 곱셈 분포에 대한 고전 결과를 더 넓은 리 군oids의 맥락으로 일반화한다.