[논문 리뷰] Foliated manifolds, algebraic K-theory, and a secondary invariant

Ulrich Bunke|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 안정 프레임이 있고 부분적으로 평탄한 벡터 번들의 구조를 지닌 홀수 차원의 폴로노미아드를 위한 ${\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}$-값을 갖는 2차 불변량을 도입한다. 이는 미분 $K$-이론 또는 스펙트럼 불변량을 통해 정의되며, 핵심 결과로는 이 불변량이 매끄러운 함수의 대수적 $K$-이론에서 연결된 $K$-이론으로의 조정 맵(regulator map)으로 연결되는 공식을 제시한다. 이는 고전적인 불변량들인 Adams $e$-불변량과 Godbillon-Vey 클래스를 하나의 프레임워크 안에서 통합한다.

ABSTRACT

We introduce a $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$-valued invariant of a foliated manifold with a stable framing and with a partially flat vector bundle. This invariant can be expressed in terms of integration in differential $K$-theory, or alternatively, in terms of $η$-invariants of Dirac operators and local correction terms. Initially, the construction of the element in $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$ involves additional choices. But if the codimension of the foliation is sufficiently small, then this element is independent of these choices and therefore an invariant of the data listed above. We show that the invariant comprises various classical invariants like Adams' $e$-invariant, the $ρ$-invariant of twisted Dirac operators, or the Godbillon-Vey invariant from foliation theory. Using methods from differential cohomology theory we construct a regulator map from the algebraic $K$-theory of smooth functions on a manifold to its connective $K$-theory with $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$ coefficients. Our main result is a formula for the invariant in terms of this regulator and integration in algebraic and topological $K$-theory.

연구 동기 및 목표

• 폴로노미아드를 가진 안정 프레임이 있고 부분적으로 평탄한 벡터 번들의 조건을 만족하는 폴로노미아드에 대해 기하적 선택에 영향을 받지 않는 새로운 ${\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}$-값 불변량을 정의하는 것.
• 이 불변량과 폴로노미아드 기저 공간 위의 매끄러운 함수의 대수적 $K$-이론 사이의 깊은 연결 고리를 확립하는 것.
• Adams $e$-불변량, $\rho$-불변량, Godbillon-Vey 불변량과 같은 고전적 불변량들을 하나의 코homological 프레임워크 안에서 통합하는 것.
• 대수적 $K$-이론에서 연결된 $K$-이론으로의 조정 맵 $\mathrm{reg}_X: K_p(C^\infty(X)) \to \mathbf{ku}{\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}^{-p-1}(X)$ 를 구성하고, 이가 미분 $K$-이론의 통합과 호환됨을 보이는 것.

제안 방법

• 이 불변량은 미분 복소 $K$-이론 $\widehat{KU}^*$ 에서의 통합을 통해 구축되며, 이는 곡률 및 접속 자료를 통한 기하적 실현을 제공한다.
• 다른 표현은 비틀린 딜라크 연산자의 $\eta$-불변량과 이행된 특성 형식을 포함하는 보정 항으로 기술된다.
• 논문은 대수적 $K$-이론에서 연결된 $K$-이론으로의 조정 맵 $\mathrm{reg}_X: K_p(C^\infty(X)) \to \mathbf{ku}{\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}^{-p-1}(X)$ 를 정의한다.
• 알gebra적 및 위상적 $K$-이론 사이의 관계를 설명하기 위해 리만-로흐 유형의 다이어그램을 사용하며, 미분 보완을 통해 주요 공식을 증명한다.
• 이 구축이 $2\mathrm{codim}(\mathcal{F}) < \dim(M)$ 인 경우에만 보조 선택 사항(메트릭, 접속 연장)에 영향을 받지 않음을 보여준다.
• 이 불변량은 조정 맵과 연결된 $K$-이론에서의 통합의 복합으로 해석되며, 이는 ${\mathbb{C}}/{\mathbb{Z}}$ 에 속하는 클래스를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 안정 프레임과 부분적으로 평탄한 번들 조건을 만족하는 폴로노미아드에 대해, 기하적 선택에 영향을 받지 않는 2차 불변량을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 이 불변량과 폴로노미아드 기저 공간 위의 매끄러운 함수의 대수적 $K$-이론 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 이 불변량은 어떻게 Adams $e$-불변량, $\rho$-불변량, Godbillon-Vey 클래스와 같은 고전적 불변량들을 통합하는가?
• RQ4 대수적 $K$-이론에서 연결된 $K$-이론으로의 조정 맵을 구성하고, 이를 통해 이 불변량을 표현할 수 있는가?
• RQ5 어떤 위상적 조건에서 이 불변량이 보조 기하 데이터에 영향을 받지 않는가?

주요 결과

• 불변량 $\rho(M,\mathcal{F},\nabla^I,s) \in \mathbb{C}/\mathbb{Z}$ 는 $2\mathrm{codim}(\mathcal{F}) < \dim(M)$ 인 경우에만 잘 정의되고 기하적 선택에 영향을 받지 않는다.
• 이 불변량은 두 가지 등가적 기술을 갖는다: 하나는 미분 $K$-이론에서의 통합을 통한 것이고, 다른 하나는 $\eta$-불변량과 이행된 특성 형식을 포함하는 것이다.
• 주요 결과는 불변량을 $\rho(M,\mathcal{F},\nabla^I,s) = \pi_!^o(\mathrm{reg}_X(f^{o_s}_!( [V,\nabla^I]^{\mathrm{alg}} )))$ 로 표현하며, 이는 대수적 $K$-이론과 조정 맵으로 연결된다.
• 이 불변량은 Adams $e$-불변량, 평탄한 번들에 대한 $\rho$-불변량, Godbillon-Vey 불변량을 특수한 경우로 포함한다.
• 조정 맵 $\mathrm{reg}_X$ 는 $C^\infty(X)$ 의 대수적 $K$-이론에서 연결된 $K$-이론으로의 자연 변환으로 구성된다.
• 형태 $(P \times X, T_{\mathbb{C}}P \boxplus \{0\})$ 의 폴로노미아드의 경우, 이 불변량은 $C^\infty(X)$ 의 대수적 $K$-이론을 통해 인식되며, 코드미너전 조건이 잘 정의됨을 보장한다.