[논문 리뷰] Foliations and Rational Connectedness in Positive Characteristic

Mingmin Shen|ArXiv.org|2009. 06. 04.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성에서 자유롭게 유리적으로 연결된 (FRC) 다양체의 개념을 도입하고, 이러한 다양체가 분리 가능한 유리적으로 연결된 (SRC) 다양체로의 유한 순수 불가약 사상(모르피즘)을 가짐을 증명한다. 분할 이론과 형식적 이웃 분석을 통해 저자들은 일반화된 Graber-Harris-Starr 정리를 확립하고, FRC 다양체가 단순 연결임을 보이며, 양의 특성에서 유리적으로 연결됨과 분리 가능한 유리적으로 연결됨 사이의 핵심적인 차이를 해결한다.

ABSTRACT

In this paper, the technique of foliations in characteristic $p$ is used to investigate the difference between rational connectedness and separable rational connectedness in positive characteristic. The notion of being freely rationally connected is defined; a variety is freely rationally connected if a general pair of points can be connected by a free rational curve. It is proved that a freely rationally connected variety admits a finite purely inseparable morphism to a separably rationally connected variety. As an application, a generalized Graber-Harris-Starr type theorem in positive characteristic is proved; namely, if a family of varieties over a smooth curve has the property that its geometric generic fiber is normal and freely rationally connected, then it has a rational section after some Frobenius twisting. We also show that a freely rationally connected variety is simply connected.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성에서 유리적으로 연결됨과 분리 가능한 유리적으로 연결됨 사이의 차이를 명확히 하기 위해.
• 새로운 자유롭게 유리적으로 연결된 (FRC) 다양체의 클래스를 정의하고 연구하기 위해.
• 모든 FRC 다양체가 분리 가능한 유리적으로 연결된 (SRC) 다양체로의 유한 순수 불가약 사상을 가짐을 증명하기 위해.
• FRC 가닥에 대해 양의 특성에서 Graber-Harris-Starr 정리의 일반화를 확립하기 위해.
• FRC 다양체가 단순 연결임을 보이며, 특성 0에서의 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• X 위의 자유 유리 곡선을 사용하여 TX의 균일한 분할 D ⊂ TX를 구성하며, 이는 리 괄호와 양의 특성에서의 p제곱에 대해 닫혀 있다.
• 분할 D에 의한 몫 사상 X → Y를 정의하여, Y가 X로부터 분리 가능한 유일루드성 또는 FRC 구조를 물려받음을 보인다.
• 자유 유리 곡선의 형식적 이웃을 분석하여, 몰입 과정이 SRC에서 종료되지 않을 경우의 행동을 제어한다.
• 몰입 과정이 종료되지 않는 조건을 이용하여, 형식적 이웃의 전역 정칙 함수들이 멱급수 환임을 보인다.
• 반복적으로 몰입 구조를 적용하여, 유한한 단계 이후 FRC 다양체를 SRC 다양체로 감소시킨다.
• 최종적으로 얻어진 SRC 몰입을 이용하여, 기저 변경과 de Jong–Starr의 기존 결과를 통해 가닥에서 Frobenius 전환 후 유리 섹션의 존재를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유롭게 유리적으로 연결됨이 양의 특성에서 분리 가능한 유리적으로 연결됨을 의미하는가? 만약 그렇지 않다면, 그 격차는 무엇인가?
• RQ2 FRC 다양체에서 SRC 다양체로의 유한 순수 불가약 사상을 구성할 수 있는가?
• RQ3 자유 유리 곡선의 형식적 이웃은 몰입 과정을 제어하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 곡선 위의 FRC 다양체 가닥은 Frobenius 전환 후에도 유리 섹션을 가질 수 있는가?
• RQ5 양의 특성에서의 올바른 정규 FRC 다양체는 단순 연결인가?

주요 결과

• 대부분 대수적으로 닫힌 양의 특성의 체 위에서 자유롭게 유리적으로 연결된 다양체는 분리 가능한 유리적으로 연결된 다양체로의 유한 순수 불가약 사상을 가진다.
• 원래 다양체가 FRC이면, 분할에 의한 몰입 과정이 유한한 단계 내에 종료되어 SRC 다양체를 얻는다.
• 양의 특성에서 일반화된 Graber-Harris-Starr 정리가 성립한다: 곡선 위의 가닥의 기하적 일반 섹션(geometric generic fiber)이 정규이자 FRC이면, 어떤 Frobenius 전환 후에도 유리 섹션을 가진다.
• 양의 특성에서 올바른 정규 FRC 다양체의 대수적 기본군은 자명하다. 즉, 이러한 다양체는 단순 연결이다.
• FRC 다양체 위의 자유 유리 곡선의 형식적 이웃은 몰입 과정이 SRC에서 종료되지 않으면, 전역 정칙 함수들의 멱급수 환을 가진다.