[논문 리뷰] For Fixed Control Parameters the Quantum Approximate Optimization Algorithm's Objective Function Value Concentrates for Typical Instances

Fernando G. S. L. Brandão, Michael Broughton외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 61

한 줄 요약

해당 논문은 고정된 QAOA 깊이 p에 대해 목적값이 분포에서 뽑힌 일반적인 문제 인스턴스들 사이에서 집중되며, 이는 풍경이 대체로 인스턴스 독립적임을 시사하고, 인스턴스 간 매개변수 재사용 가능성을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The Quantum Approximate Optimization Algorithm, QAOA, uses a shallow depth quantum circuit to produce a parameter dependent state. For a given combinatorial optimization problem instance, the quantum expectation of the associated cost function is the parameter dependent objective function of the QAOA. We demonstrate that if the parameters are fixed and the instance comes from a reasonable distribution then the objective function value is concentrated in the sense that typical instances have (nearly) the same value of the objective function. This applies not just for optimal parameters as the whole landscape is instance independent. We can prove this is true for low depth quantum circuits for instances of MaxCut on large 3-regular graphs. Our results generalize beyond this example. We support the arguments with numerical examples that show remarkable concentration. For higher depth circuits the numerics also show concentration and we argue for this using the Law of Large Numbers. We also observe by simulation that if we find parameters which result in good performance at say 10 bits these same parameters result in good performance at say 24 bits. These findings suggest ways to run the QAOA that reduce or eliminate the use of the outer loop optimization and may allow us to find good solutions with fewer calls to the quantum computer.

연구 동기 및 목표

• 무작위 문제 인스턴스에서 QAOA 성능 연구를 동기 부여한다.
• 고정 깊이에서 일반적인 인스턴스들 사이에서 QAOA 목적 값이 집중한다는 것을 보인다.
• 실용적 문제 클래스에 대한 목적 풍경의 인스턴스 독립성을 보여준다.

제안 방법

• |s>로부터 균일 상태를 번갈아 가며 U(B, beta)와 U(C, gamma)를 적용하여 QAOA 상태를 표현한다.
• MaxCut의 지역 간선 기여의 합으로 비용 기대값 F_p(gamma, beta)를 분해한다.
• 대규모 n에 대해 집중성을 증명하기 위해 p=1, 3-정규(MaxCut) 케이스를 분석한다.
• Law of Large Numbers와 수치적 근거를 사용하여 더 높은 깊이 회로로 주장을 확장한다.
• 집중 현상과 사이즈 간 매개변수 이전을 보여주기 위한 수치 시뮬레이션을 제공한다.
• 외부 루프 최적화를 줄이거나 매개변수 재사용에 대한 시사점을 논의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 p와 큰 n에 대해 QAOA 목적 값이 일반적인 인스턴스에서 집중되는가?
• RQ2 제시된 문제 클래스에 대해 집중 현상이 인스턴스 독립적인가?
• RQ3 깊이 p가 집중에 어떤 영향을 미치며, p=1을 넘어 수치적으로도 관찰할 수 있는가?
• RQ4 집중이 서로 다른 인스턴스 크기나 분포 간 매개변수 재사용을 가능하게 하는가?
• RQ5 이러한 결과가 근시 양자 장치에서의 실용적 최적화 전략에 어떤 함의를 가지는가?

주요 결과

• 깊이 p=1에서 3-정규 MaxCut 그래프의 경우 QAOA 목적 값은 n이 커짐에 따라 집중한다.
• 수치 결과는 더 높은 깊이에서도 집중이 지속되며, 저자는 Law of Large Numbers로 이를 주장한다.
• 전개된 풍경은 최적 매개변수뿐만 아니라 일반적인 인스턴스 간에도 거의 동일해진다.
• 시뮬레이션은 작은 비정밀도(예: 10비트)로 찾은 매개변수가 더 큰 크기(예: 24비트)에서도 잘 작동함을 시사한다.
• 이 집중은 외부 루프 최적화를 줄이거나 제거하고 더 적은 양의 양자 컴퓨턴트 호출로 좋은 해를 얻는 전략의 가능성을 시사한다.