[논문 리뷰] Forcing with ideals of closed sets

Jindřich Zapletal|ArXiv.org|2001. 09. 04.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\sigma$-ideal $\sigma$-generated by projective collections of closed sets에 의해 생성된 포스팅 확장에 대해 연구하며, 결과적으로 얻어지는 포스팅 $P_I = \text{Borel}(\mathbb{R}) \setminus I$가 proper하고, 거의 최소 차수를 가진 단일 실수 $r_{\text{gen}}$를 첨가함을 보여준다: 임의의 중간 모델 $V[s]$는 $V$의 코헨 확장이거나 $V[r_{\text{gen}}]$와 일치한다. 이 결과는 기술적 집합론 기법과 대규모 기수 가정에 기반하여 중간 확장의 구조를 분석한다.

ABSTRACT

Let I be a sigma-ideal sigma-generated by a projective collection of closed sets. The forcing with I-positive Borel sets is proper and adds a single real r of an almost minimal degree: if s is a real in V[r] then s is Cohen generic over V or V[s]=V[r].

연구 동기 및 목표

• 포스팅 확장에서 $\sigma$-ideal $\sigma$-generated by projective collections of closed sets에 의해 생성된 중간 모델의 구조를 분석하는 것.
• 대규모 기수 가정 하에서 포스팅 $P_I = \text{Borel}(\mathbb{R}) \setminus I$가 proper함을 입증하는 것.
• 확장 $V[r_{\text{gen}}]$ 내의 실수 $s$에 대해 임의의 중간 모델 $V[s]$가 $V$의 코헨 확장이거나 $V[r_{\text{gen}}]$와 일치함을 보여, 일반적으로 거의 최소 차수를 가짐을 입증하는 것.
• 기술적 집합론과 정의 가능한 proper 포스팅 사이의 연결 고리를 드러내며, 특히 이상 생성의 문법적 표현을 통해 분석하는 것.
• 이상의 조합론적 성질이 내부 조합론에 의존하지 않고, 오직 정의적 문법적 표현에서 유추될 수 있는지 조사하는 것.

제안 방법

• 모델 $M$의 $M$-generic 실수 개념을 적용하여 주어진 $\sigma$-ideal $I$에 의해 생성된 $P_I = \text{Borel}(\mathbb{R}) \setminus I$를 포함관계로 순서를 정의한 포스팅을 사용하는 것.
• 가산 초모형 $M$에 대한 $M$-generic 실수의 개념을 활용하여 마스터 조건을 구성하고 proper성을 증명하는 것.
• 조건 $A$ 내의 $M$-generic 실수 집합인 후보 마스터 조건 $A^*$를 구성함으로써 $P_I$가 $<\omega_1$-proper임을 증명하는 것. 이때 $A^* \notin I$임을 $M$ 내의 밀도집합의 수열에 대한 대각선화를 통해 보이는 것.
• 이름 $\dot{r}_{\text{gen}}(n) \in m$일 때 $\{s : s(n) = m\}$가 일반 필터에 속할 때 정의된 일반 실수 $r_{\text{gen}}$를 사용하여, $r_{\text{gen}}$가 일반 필터에 속한 모든 보렐 집합에 포함됨을 강제함을 보장하는 것.
• 이상 $J$의 $J$-작은 보렐 집합의 집합을 분석함으로써 중간 확장을 c.c.c. 확장 또는 전체 확장으로 환원하는 것. 이때 임의의 such $s$가 $P_J$-generic임을 보이는 것.
• 코헨 일반 실수가 존재함을 보이기 위해, $P_I$-양성 집합으로 사영되는 트리 위의 경로를 구성함으로써, 모든 $I$-작은 지면 모형 집합을 피하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $r_{\text{gen}}$가 $P_I = \text{Borel}(\mathbb{R}) \setminus I$에 대해 일반적이라면, $V$와 $V[r_{\text{gen}}]$ 사이의 중간 모델 $V[s]$의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 포스팅 $P_I$가 언제 proper한가? 이는 닫힌 집합의 생성 가족의 기술적 복잡도와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 이상 $I$의 조합론적 성질에 의존하지 않고도 일반 실수 $r_{\text{gen}}$가 거의 최소 차수를 가짐을 보일 수 있는가?
• RQ4 포스팅 $P_I$의 proper성은 포스팅 확장 간에 절대적인가? 그리고 $I$의 정의로부터 문법적으로 증명될 수 있는가?
• RQ5 포스팅 $P_I$가 proper하지만 $<\omega_1$-proper가 아니거나, 일반 실수가 최소 차수를 가지지 않는 이상의 이상 $I$가 존재하는가?

주요 결과

• 대규모 기수 가정 하에, $I$가 프로젝티브 닫힘 집합 컬렉션에 의해 $\sigma$-generated인 $\sigma$-ideal이라면, 항상 $P_I = \text{Borel}(\mathbb{R}) \setminus I$는 $<\omega_1$-proper이다.
• 포스팅 $P_I$는 $V[r_{\text{gen}}]$로 확장될 때 단일 실수 $r_{\text{gen}}$를 첨가하며, 이에 따라 임의의 중간 모델 $V[s]$는 $V$의 코헨 확장이거나 $V[r_{\text{gen}}]$와 일치한다. 이는 거의 최소 차수를 보장한다.
• 일반 실수 $r_{\text{gen}}$는 일반 필터에 속한 모든 보렐 집합에 포함됨을 강제하며, 필터에 의해 유일하게 결정되므로 이름 $\dot{r}_{\text{gen}}$를 통해 정의 가능하다.
• 모든 실수 $s \in V[r_{\text{gen}}]$에 대해, 만약 $V[s]$가 $V$의 c.c.c. 확장이라면, 적절한 $\sigma$-ideal $J$에 대해 $s$는 $P_J$-generic이며, 그러한 실수는 코헨 확장 내에 존재한다.
• 코헨 확장 내에서 $P_J$-generic 실수가 존재한다는 것은, $P_I$-양성 집합으로 사영되는 트리 위의 경로를 구성함으로써 보장되며, 이 경로는 모든 $I$-작은 지면 모형 집합을 피한다.
• 이 논문은 닫힌 측도 0 이상과 같은 이상들이 이러한 깔끔한 분석을 허용하지 않을 수 있음을 시사하며, 그 조합론적 구조가 문법적 성질만으로는 포괄되지 않을 수 있음을 보여준다.