[논문 리뷰] Formal gluing along non-linear flags

Benjamin Hennion, Mauro Porta외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 15.

Advanced Numerical Analysis Techniques인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 체 k 위에서 국소적으로 유한형인 임의의 아르틴 스택에 대해 거의 완전 복합체의 스택과 $G$-_bundle의 스택에 대한 형식적 접합 정리를 수립한다. 비가환 대수기하학을 사용하여 구멍이 난 형식적 이웃에서의 호환성을 정의한다. 주요 기여는 비선형 플래그를 따라의 분해로, 이는 유도된 아르틴 스택으로까지 확장되며, (거의) 완전 모듈러의 유도된 $Σ$-분류에 대한 새로운 국소화 및 플래그 분해 공식을 도출한다.

ABSTRACT

In this paper we prove formal glueing along an arbitrary closed substack $Z$ of an arbitrary Artin stack $X$ (locally of finite type over a field $k$), for the stacks of (almost) perfect complexes , and of $G$-bundles on $X$ (for $G$ a smooth affine algebraic $k$-group scheme). By iterating this result, we get a decomposition of these stacks along an arbitrary nonlinear flag of closed substacks in $X$. By taking points over the base field, we deduce from this both a formal glueing, and a flag-related decomposition formula for the corresponding symmetric monoidal derived $\infty$-categories of (almost) perfect modules. When $X$ is a quasi-compact and quasi-separated scheme, we also prove a localization theorem for almost perfect complexes on $X$, which parallels Thomason's localization results for perfect complexes. This is one of the main ingredients we need to provide a global characterization of the category of almost perfect complexes on the punctured formal neighbourhood. We then extend all of the previous results - i.e. the formal glueing and flag-decomposition formulas - to the case when $X$ is a derived Artin stack (locally almost of finite type over a field $k$), for the derived versions of the stacks of (almost) perfect modules, and of $G$-bundles on $X$. We close the paper by highlighting some expected progress in the subject matter of this paper, related to a Geometric Langlands program for higher dimensional varieties. In an Appendix (for $X$ a variety), we give a precise comparison between our formal glueing results and the rigid-analytic approach of Ben-Bassat and Temkin.

연구 동기 및 목표

• 임의의 아르틴 스택 $X$에 대해 체 $k$ 위에서 국소적으로 유한형인 스택에 대해 (거의) 완전 복합체와 $G$-bundle의 형식적 접합을 수립한다.
• 형식적 접합을 국소적으로 거의 유한형인 $k$-위에서 유도된 아르틴 스택으로 확장한다.
• 닫힌 부분스택의 구멍이 난 형식적 이웃에서 거의 완전 복합체의 전역 특성화를 제공한다.
• 유도된 $Σ$-분류의 (거의) 완전 모듈러에 대해 플래그 관련 분해 공식을 유도한다.
• 고차원 기하 Langlands 프로그램을 위한 기초 도구를 마련한다.

제안 방법

• 형식적 이웃의 구멍이 난 부분을 모델링하는 함자 $\widehat{\mathfrak{W}}^\circ_{Z/X}$를 정의한다. 이는 내림내림이 없지만 (거의) 완전 모듈러와 $G$-bundle에 대해 내림내림을 지원한다.
• 에탈레 내림내림 기법을 사용하여 (거의) 완전 모듈러와 $G$-bundle가 이 비표준 사이트에 대해 내림내림을 만족함을 증명한다.
• 버드리어 몫과 $t$-구조 기법을 적용하여 거의 완전 모듈러의 유도 범주를 분석한다.
• 유도된 아르틴 스택에서, $\infty$-범주적 프레임워크를 사용하여 대칭 모노이드 스태이블 $k$-선형 $Σ$-범주에서 작업한다.
• 유도된 아르틴 스택으로 결과를 확장한다.
• 기존의 스킴에 대해 유도된 아르틴 스택에서의 형식적 접합과 플래그 분해 정리의 유사성에 기반하여 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형식적 접합은 스킴나 딜레인-무드포드 스택 이외의 임의의 아르틴 스택에 대해 (거의) 완전 복합체 스택에 대해 수립될 수 있는가?
• RQ2 두 개체의 교차가 공집합일 경우, 열린 여집합과 형식적 완비화 사이의 호환성은 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 닫힌 부분스택의 구멍이 난 형식적 이웃에서 거의 완전 모듈러의 유도된 $Σ$-분류의 구조는 어떠한가?
• RQ4 임의의 비선형 플래그를 따라 닫힌 부분스택의 열린 서브스택 스택에 대해 플래그 분해를 구성할 수 있는가?
• RQ5 비가환 기하학은 전통적인 교차가 없는 상황에서 형식적 접합을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 형식적 접합은 임의의 아르틴 스택 $X$에 대해 $\mathbf{Perf}^\otimes_X$, $\mathbf{Coh}^\otimes_{X,-}$, 및 $\mathbf{Bun}_G(X)$ 스택에 대해 대칭 모노이드 $\infty$-범주에 값이 있는 형식적 접합을 만족한다.
• 유도된 $Σ$-분류의 거의 완전 모듈러는 임의의 비선형 플래그를 따라 분해 가능하며, 이는 고전적 접합을 일반화한다.
• 유도된 아르틴 스택에서, 유도된 아르틴 스택에서의 형식적 접합과 플래그 분해 정리가 동일한 형태로 유도된다.
• 유도된 아르틴 스택에서, 유도된 아르틴 스택에서의 형식적 접합과 플래그 분해 정리가 동일한 형태로 유도된다.
• 비가환 기하학의 접근법과 벤-바사트 및 템킨의 강체 해석적 접근법을 비교하여, 이들이 호환되며 대수기하학적 설정에서의 특수한 이점이 있음을 보여준다.