[논문 리뷰] Formal loops IV: Chiral differential operators

Mikhail Kapranov, Éric Vasserot|ArXiv.org|2006. 12. 13.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 6인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체 $X$ 위의 캐럴 미분 연산자(CDO)의 층과 형식적 루프 공간 ${\cal L}X$ 위의 결정행 기브의 사이에 깊은 기하학적 대응을 수립한다. 이를 위해 심플렉틱 작용 호모모르피즘 $S: \Omega^{2,cl}_X \to \mathcal{O}^*_{{\cal L}X}$ 를 사용하며, 주요 결과는 CDO 층의 전역 존재 장애 클래스가 ${\cal L}X$ 위의 결정행 이상으로 표현됨을 밝혀내어, 무한차원 $\mathcal{D}$-모듈 이론과 인수화 구조를 통해 버텍스 대수기하학의 핵심 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We relate the gerbe of sheaves of chiral differential operators (CDO) on a algebraic variety X, studied by Gorbounov, Malikov and Schechtman, to the determinantal gerbe of the formal loop space LX introduced in our earlier paper. The liens of the two gerbes are related by a version of the symplectic action homomorphism. The determinantal gerbe of LX has a factorization structure in the spirit of Beilinson and Drinfeld. In our identification, sheaves of CDO correspond to factorizing objects of this factorization gerbe.

연구 동기 및 목표

• 복소다양체 $X$ 위의 캐럴 미분 연산자(CDO) 층과 그 형식적 루프 공간 ${\cal L}X$의 기하학적 구조를 연결한다.
• CDO 층의 전역 존재에 대한 장애를 ${\cal L}X$ 위의 결정행 이상으로 식별하여 이를 해결한다.
• 심플렉틱 작용 호모모르피즘 $S$를 이용해 $X$ 위의 CDO 기브와 ${\cal L}X$ 위의 결정행 기브 사이에 표준적인 대응을 수립한다.
• 지역적으로 국소 콪스 히에르 인드-스키마 위의 무한차원 $\mathcal{D}$-모듈에 대해 전역 절단의 정규화된 함자를 개발하여 타일러 루프 위의 $\delta$-함수로부터 버텍스 대수를 구성할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 지역적으로 국소 콱스 히에르 인드-스키마 위의 $\mathcal{D}$-모듈에 대해 직접 이미지 함자에서 기인하는 결정행 수정으로 인한 실패를 정규화하는 함수자 $\Gamma_{\cal E}$ 를 도입한다.
• 닫힌 2형식에 대한 심플렉틱 작용 호모모르피즘 $S: \Omega^{2,cl}_X \to \mathcal{O}^*_{{\cal L}X}$, 즉 $\omega \mapsto \exp(\int d^{-1}\omega)$ 를 정의하여 $X$ 위의 닫힌 2형식과 ${\cal L}X$ 위의 인수화 함수 사이의 관계를 설정한다.
• 타일러 루프 공간 위의 $\delta$-함수 $\delta_{{\cal L}^0 X}$ 의 푸시포워드로 CDO 층을 구성하며, 결정행 기브 ${\cal D}et_{{\cal L}X}$ 를 통해 정규화한다.
• 베일린슨-드린펠드 이론의 인수화 구조를 적용하여 $\Gamma_{\cal E}(\delta_{{\cal L}^0 X})$ 위에 버텍스 대수의 구조를 정의하고, 심플렉틱 작용과의 호환성을 확보한다.
• 끌림 $ev^*$ 와 콘투-카레 기호 $\partial$ 를 도입하여 $X$ 와 ${\cal L}X$ 위의 $K_2$-클래스를 연결하고, 찬 캐릭터스를 장애 클래스와 연결한다.
• CDO 기브의 클래스가 $S_*$ 에 의하여 전이된 결과가 $\partial \circ ev^*$ 에 의한 $ch_2(\Theta_X)$ 의 이미지와 일치함을 증명함으로써, 두 기브의 식별을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소다양체 $X$ 위의 캐럴 미분 연산자(CDO) 층의 전역 존재에 대한 장애는 어떻게 기하학적으로 해석할 수 있는가?
• RQ2 ${\cal L}X$ 위의 결정행 기브와 $X$ 위의 CDO 기브 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 무한차원 $\mathcal{D}$-모듈 이론과 인수화 구조를 통해 CDO 층의 구성이 정규화될 수 있는가?
• RQ4 심플렉틱 작용 호모모르피즘 $S$ 는 CDO의 변수변환 공식에서의 이상을 어떻게 캐릭터라이즈하는가?
• RQ5 ${\cal L}X$ 위의 인수화 함수는 타일러 루프 위의 $\delta$-함수의 전역 절단 위에 일관된 버텍스 대수의 구조를 어떻게 대응시키는가?

주요 결과

• CDO 층의 전역 존재에 대한 장애 클래스 $[\mathcal{CD}O_X] \in H^2(X, \Omega^{2,cl}_X)$ 는 $\frac{1}{2}c_1(X)^2 - c_2(X)$ 로 주어진다.
• 심플렉틱 작용 호모모르피즘 $S: \Omega^{2,cl}_X \to \mathcal{O}^*_{{\cal L}X}$ 는 CDO 기브의 리그룹과 ${\cal L}X$ 위의 결정행 기브의 리그룹 사이의 동형사를 유도하며, 두 기브를 이 사상에 의해 식별한다.
• 결정행 기브 ${\cal D}et_{{\cal L}X}$ 를 통해 정규화된 전역 절단의 함수자 $\Gamma_{\cal E}$ 는 $\Gamma_{\cal E}(\delta_{{\cal L}^0 X})$ 에 잘 정의된 버텍스 대수의 구조를 제공한다.
• CDO 기브의 클래스 $[\mathcal{CD}O_X^{lt}]$ 는 $S_*$ 에 의해 $H^2(X, \pi_*({\cal O}^*_{{\cal L}X})) \otimes \mathbb{Z}[1/2]$ 에서 $\partial(ev^*(ch_2(\Theta_X)))$ 의 클래스로 전이되며, 이는 주요 식별을 확립한다.
• 이 구성은 CDO의 변수변환 공식에서의 이상이 무한차원 루프 공간 설정에서 정규화된 노멀 번들의 행렬식으로 기하학적으로 실현됨을 확인한다.
• 심플렉틱 작용 호모모르피즘 $S$ 를 통한 CDO 기브와 ${\cal L}X$ 위의 결정행 기브의 식별은 기하학적 자료에서 버텍스 대수를 구성하기 위한 표준적이고 이상이 없는 프레임워크를 제공한다.