[논문 리뷰] Formalization, Mechanization and Automation of Gödel's Proof of God's Existence

Christoph Benzmüller, Bruno Woltzenlogel Paleo|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 21.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 14인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 고차 논리 증명 기반 도구를 사용하여 데이나 스코트가 제시한 고틀의 신 존재에 대한 철학적 증명을 형식화하고 기계적으로, 자동으로 검증한다. 이는 증명이 일관되고 타당하다는 것을 입증하며, LEO-II, Satallax, Coq, Isabelle/HOL 등의 도구를 통해 모odal 논리 KB가 증명에 충분하며 S5가 필요하지 않음을 보여주고, 본질의 정의에서 핵심 조건문이 생략될 경우 심각한 일관성 오류가 발생함을 규명한다.

ABSTRACT

Gödel's ontological proof has been analysed for the first-time with an unprecedent degree of detail and formality with the help of higher-order theorem provers. The following has been done (and in this order): A detailed natural deduction proof. A formalization of the axioms, definitions and theorems in the TPTP THF syntax. Automatic verification of the consistency of the axioms and definitions with Nitpick. Automatic demonstration of the theorems with the provers LEO-II and Satallax. A step-by-step formalization using the Coq proof assistant. A formalization using the Isabelle proof assistant, where the theorems (and some additional lemmata) have been automated with Sledgehammer and Metis.

연구 동기 및 목표

• 계산 논리 도구를 사용하여 고틀의 신 존재에 대한 철학적 증명을 형식적으로 검증하는 것.
• 스코트가 제시한 증명의 축약된 공리 및 정의의 논리적 의존성과 최소 요구 조건을 조사하는 것.
• 특히 본질의 정의와 관련된 오류를 규명하고 해결하는 것.
• 자동화 및 상호작용 증명 기반 도구가 철학적 추론, 특히 철학적 논의에 효과적으로 활용될 수 있음을 보여주는 것.
• 컴퓨터가 복잡한 철학적 논의를 검증하는 데 도움을 줄 수 있도록 라이프니츠의 'Calculemus' 비전을 뒷받침하는 것.

제안 방법

• 고차 논리의 TPTP THF 문법을 사용하여 스코트의 고틀 증명의 공리, 정의, 정리를 형식화하는 것.
• LEO-II와 Satallax 등의 자동 증명 기반 도구를 사용하여 논리 정리를 단계별로 검증하는 것.
• Coq와 Isabelle/HOL 증명 보조 도구를 활용하여 세부적이고 상호작용적인 형식화 및 검증을 수행하는 것.
• Nitpick 반모델 생성 도구를 사용하여 공리 및 정의의 일관성을 테스트하는 것.
• 헤킨 의미론을 사용하여 양적 모달 논리를 고전적 고차 논리에 통합하여 계산 기반 추론을 가능하게 하는 것.
• Isabelle/HOL에서 Sledgehammer와 Metis를 사용하여 정리 및 보조정리를 자동으로 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스코트의 고틀 증명 버전이 고차 논리로 형식화되었을 때 논리적으로 일관한가?
• RQ2 이 프레임워크에서 신 존재의 존재를 증명하기 위해 필요한 최소한의 모달 논리 체계는 무엇인가?
• RQ3 정의의 변경, 특히 본질 정의에서 조건문 φ(x)를 생략할 경우 시스템의 일관성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 자동화 및 상호작용 증명 기반 도구가 복잡한 철학적 논의를 효과적으로 검증하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 공리 A1의 이중 방향성은 T2와 같은 핵심 정리를 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 기본 모달 논리 K는 T1, C1, T2의 첫 번째 세 정리를 증명하는 데 충분하며, S5가 필요하다는 가정과는 반대로 된다.
• 최종 정리 T3를 증명하기 위해 모달 논리 S5가 반드시 필요한 것은 아니며, 더 약한 논리 KB만으로도 충분하다.
• 정의 D2에서 조건문 φ(x)를 생략할 경우 일관성이 깨지는 시스템이 되며, 이는 원래 제안의 심각한 오missions을 드러낸다.
• 공리 A1의 뒤집힌 방향성은 T1을 증명하는 데 필요하지 않지만, T2를 도출하는 데 필수적이며, 이는 증명 구조에서의 중요성을 보여준다.
• 형식화 과정을 통해 신적인 존재(G)의 성질이 양적 성질(P(G))이며, 필수적 존재(NE) 역시 양적 성질(P(NE))임을 규명하였으며, 이는 증명에 핵심적인 역할을 한다.
• LEO-II, Satallax, Coq, Isabelle/HOL 등의 다수 도구를 통해 전체 증명이 성공적으로 검증되었으며, 이는 형식화의 강건성을 확인한다.