[논문 리뷰] Formulas for Counting the Sizes of Markov Equivalence Classes of Directed Acyclic Graphs

Yangbo He, Bin Yu|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 23.

Bayesian Modeling and Causal Inference참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 방향성 없는 순환 그래프(DAGs)의 마르코프 등가 클래스(MECs)의 크기를 계산하기 위한 명시적 다항식 공식을 유도하기 위한 새로운 방법을 제안한다. 이 방법은 지배 정점가 없는 순환 그래프인 '코어 그래프'라는 개념을 도입한다. MEC의 크기는 지배 정점의 수에 대한 다항식으로 나타나며, 저자들은 이러한 공식을 효율적으로 유도하고 적용하기 위해 재귀적이고 기호 계산 기반의 알고리즘을 제공한다. 특히 비희소한 순환 부분그래프를 가진 MEC에 대해 유용하다.

ABSTRACT

The sizes of Markov equivalence classes of directed acyclic graphs play important roles in measuring the uncertainty and complexity in causal learning. A Markov equivalence class can be represented by an essential graph and its undirected subgraphs determine the size of the class. In this paper, we develop a method to derive the formulas for counting the sizes of Markov equivalence classes. We first introduce a new concept of core graph. The size of a Markov equivalence class of interest is a polynomial of the number of vertices given its core graph. Then, we discuss the recursive and explicit formula of the polynomial, and provide an algorithm to derive the size formula via symbolic computation for any given core graph. The proposed size formula derivation sheds light on the relationships between the size of a Markov equivalence class and its representation graph, and makes size counting efficient, even when the essential graphs contain non-sparse undirected subgraphs.

연구 동기 및 목표

• 인과적 발견에서 마르코프 등가 클래스(MECs)의 크기를 효율적으로 세는 데 도전하는 바, 특히 필수 그래프에 비희소한 순환 부분그래프가 포함된 경우를 대상으로 한다.
• 기본 필수 그래프의 구조적 특성에 기반하여 MEC 크기의 닫힌형 다항식 공식을 체계적으로 도출하는 방법을 개발한다.
• 지배 정점가 없는 순환 그래프인 '코어 그래프'—즉, 지배 정점이 없는 순환 그래프—의 개념을 도입하여 크기 공식 유도의 기초로 삼는다.
• 기호 계산을 활용한 알고리즘을 설계하여 주어진 코어 그래프에 대해 크기 공식을 유도하고, 이를 통해 빠르고 확장 가능한 크기 세기 기능을 제공한다.
• 비희소한 순환 부분그래프를 가진 MEC에 대해 공식 기반의 세기 방법이 재귀적 순회 방법보다 현저히 뛰어나다는 것을 입증한다.

제안 방법

• 필수 그래프에서 지배 정점을 제외한 순환 그래프인 '코어 그래프'를 도입하여, MEC의 본질적인 구조적 복잡성을 반영한다.
• MEC의 크기가 지배 정점의 수에 대한 다항식임을 보이며, 계수는 코어 그래프의 구조에 의해 결정됨을 보여준다.
• 코어 그래프 $ {f K} $와 $ m $개의 지배 정점이 있는 경우, MEC 내 DAG 수를 세는 함수 $ f({f K}, m) $를 사용한 재귀적 공식을 개발한다.
• 코어 그래프의 정점들의 차수와 이웃 구조를 활용하여, 특히 순환성과 유도된 부분그래프 성질을 고려해 $ f({f K}, m) $에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• 트리와 순환 부분그래프에 대한 기존 결과를 활용하여 재귀적 분해를 통해 기호 계산 기반 알고리즘을 구현하여, 주어진 코어 그래프에 대해 크기 공식을 자동으로 도출한다.
• 유도된 다항식을 직접 평가하는 공식 기반의 크기 세기 알고리즘을 구성하여, MEC 내 모든 DAG를 열거하는 데 드는 고비용을 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DAG의 마르코프 등가 클래스 크기를 지배 정점의 수에 대한 다항함수로 체계적으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 특히 그 순환 부분그래프의 구조적 특성에 따라, 필수 그래프의 어떤 특성이 크기 다항식의 형태를 결정하는가?
• RQ3 임의의 코어 그래프에 대해 이러한 크기 공식을 기호적으로 유도할 수 있는 일반 알고리즘을 개발할 수 있는가?
• RQ4 제안된 공식 기반 세기 방법은 기존의 재귀적 순회 방법과 비교해 비희소한 필수 그래프에 대해 얼마나 효율적인가?
• RQ5 결손 엣지가 최대 5개 이하이거나 트리 및 순환 그래프와 같은 특정 구조를 가진 코어 그래프의 크기 공식에 대해 명시적인 다항식 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 마르코프 등가 클래스의 크기는 지배 정점의 수에 대한 다항식이며, 다항식의 계수는 코어 그래프에 의해 완전히 결정된다.
• 트리의 경우 크기 공식은 $ p + 2(p-1)m $ 이며, 여기서 $ p $는 정점 수, $ m $은 지배 정점의 수이다.
• 한 개의 엣지를 추가한 트리(삼각형을 형성함)의 경우 크기 공식은 $ 3m^2 + 4pm - 3m + 2p $ 로, $ m $에 대해 이차함수적 의존성을 보인다.
• 정점 수 $ p/2 $의 구성요소로 이루어진 코어 그래프(크기 $ m+1 $인 완전 그래프 하나와 $ p/2 - 1 $개의 한 엣지 그래프)의 경우 크기 공식은 $ 2^{p/2} (pm/2 + p/2) $ 이다.
• 기호 계산 기반 알고리즘이 임의의 코어 그래프에 대해 크기 공식을 효율적으로 도출하며, 비희소한 순환 부분그래프를 가진 MEC에 대해 공식 기반 세기 알고리즘이 순회 기반 방법보다 극적으로 빠른 성능을 보인다.
• 실험 결과는 제안된 방법이 확장 가능하며, 비희소한 순환 부분그래프를 가진 경우 기존의 재귀적 세기 접근보다 현저히 빠르다는 것을 확인한다.