[논문 리뷰] Formulas for Positive, Negative and Zero Values of the Möbius Function

R. M. Abrarov, Sanjar M. Abrarov|ArXiv.org|2009. 05. 04.

Mathematics and Applications참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모비우스 함수의 양수, 음수, 영값을 임의의 실수 $x$ 이하로 세는 명시적 공식을 유도한다. 이는 $\sqrt{x}$에서의 모비우스 함수 값에 기반한 재귀적 항등식을 사용한다. 디랙 델타 함수와 크로네커 델타 함수를 활용하여 메르텐스 함수 및 관련 산술 함수를 적분형과 이산형으로 표현함으로써, 이러한 함수들이 수론적 항등식을 통해 출력을 생성하는 구조적 메커니즘을 드러낸다.

ABSTRACT

We obtained the formulas for the quantities of positive, negative and zero values of the Mobius function for any real x in terms of the Mobius function values for square root of x - similar to the identities we found earlier for the Mertens function [1]. Using the Dirac delta function approach [3, 2] we propose the equations showing how the Mertens and related functions can generate the output values.

연구 동기 및 목표

• $N_+(x)$, $N_-(x)$, $N_0(x)$의 정확한 공식을 유도하는 것: 각각 $\mu(n) = +1$, $-1$, $0$ 인 자연수 $\leq x$의 개수.
• 메르텐스 함수의 재귀적 구조를 연장하여, 이들 개수를 $\sqrt{x}$에서의 모비우스 함수 값에 대해 재귀적으로 표현하는 것.
• 메르텐스 함수 및 관련 산술 함수를 디랙 델타 함수 $\delta^D$와 크로네커 델타 함수 $\delta^K$를 사용해 재구성하여, 명시적 바닥함수를 제거하고 잠재적인 생성 메커니즘을 드러내는 것.
• 모비우스 함수 값의 분포와 빈도를 분석하기 위한 결정론적이고 항등식 기반의 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 제곱 인수에 대한 포함-배제 원리를 통해 $N_0(x)$를 유도하여 $N_0(x) = -\sum_{i=2}^{\sqrt{x}} \mu_i \left[\frac{x}{i^2}\right]$를 도출한다.
• 메르텐스 함수를 재귀적으로 표현하기 위해 항등식 $M(x) = 2M(\sqrt{x}) - \sum_{i,j=1}^{\sqrt{x}} \mu_i \mu_j \left[\frac{x}{ij}\right]$를 사용한다.
• 바닥함수 $\left[\frac{x}{ij}\right]$를 디랙 델타 함수 $\delta^D$와 크로네커 델타 함수 $\delta^K$로 대체하여 표현한다.
• 메르텐스 함수 항등식을 $\delta^K\left(\frac{k}{ij}\right)$를 사용한 $k$와 $i,j$에 대한 이중 합으로 변환하여 $M(x) = 2 - \sum_{k=1}^x \sum_{i,j=1}^{\sqrt{k}} \mu_i \mu_j \delta^K\left(\frac{k}{ij}\right)$를 도출한다.
• 유사한 변환 기법을 사용하여 $Q(x) = N_+(x) + N_-(x)$, $N_+(x)$, $N_-(x)$에 대한 델타 함수 표현을 유도한다.
• $x \geq 2$일 때 $\mu_x = -\sum_{i,j=1}^{\sqrt{x}} \mu_i \mu_j \delta^K\left(\frac{x}{ij}\right)$라는 항등식을 확립하여, 개별 모비우스 값이 어떻게 재귀적 구조에 의해 생성되는지 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모비우스 함수의 양수, 음수, 영값의 수는 어떻게 $\sqrt{x}$에서의 값에 대해 재귀적으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 메르텐스 함수 및 관련 산술 함수는 디랙 또는 크로네커 델타 함수를 사용해 바닥함수를 제거할 수 있는가?
• RQ3 모비우스 함수 값의 생성을 뒷받반는 구조적 메커니즘은 무엇인가?
• RQ4 모비우스 함수 값 $\mu(n) = +1$, $-1$, $0$의 빈도는 메르텐스 함수와 제곱근 자유수의 개수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 포함-배제 원리와 곱셈 항등식은 $N_0(x)$와 $Q(x)$의 정확한 공식 유도에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모비우스 함수 값이 0인 정수의 개수는 $N_0(x) = -\sum_{i=2}^{\sqrt{x}} \mu_i \left[\frac{x}{i^2}\right]$로 주어지며, 이는 제곱 인수에 대한 포함-배제 원리에 의해 도출된다.
• 제곱근 자유수의 개수 $Q(x) = N_+(x) + N_-(x)$는 $Q(x) = \sum_{i=1}^{\sqrt{x}} \mu_i \left[\frac{x}{i^2}\right]$로 표현되며, 이는 직접적으로 $\sqrt{x}$에서의 모비우스 값과 연결된다.
• $N_+(x)$와 $N_-(x)$는 $N_+(x) = M(\sqrt{x}) - \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{\sqrt{x}} \mu_i \mu_j \left[\frac{x}{ij}\right] + \frac{1}{2}Q(x)$ 및 유사한 식을 통해 유도되며, 이는 메르텐스 함수와 $Q(x)$를 사용한다.
• 델타 함수를 사용하여 $M(x) = 2 - \sum_{k=1}^x \sum_{i,j=1}^{\sqrt{k}} \mu_i \mu_j \delta^K\left(\frac{k}{ij}\right)$를 도출하였으며, 이는 바닥함수를 이산 델타 함수로 대체한 것이다.
• $x \geq 2$일 때 $\mu_x = -\sum_{i,j=1}^{\sqrt{x}} \mu_i \mu_j \delta^K\left(\frac{x}{ij}\right)$라는 항등식은 개별 모비우스 값이 재귀적 구조에 의해 어떻게 생성되는지를 보여준다.
• 델타 함수 표현은 수론적 항등식을 통한 모비우스 함수 및 그 합산 함수의 값 생성에 대한 결정론적이고 구성적인 메커니즘을 드러낸다.