[논문 리뷰] Formulas for the coefficients of half-integral weight harmonic Maass forms

Claudia Alfes‐Neumann|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 24.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모든 반정수 스펙트럼 무게에 대해 Bruinier-Funke 및 Bruinier-Ono θ-역을 확장하며, CM-값과 변형된 추적을 통해 푸리에 계수의 명시적 공식을 제공한다. 이는 $k$와 $2-k$ 사이의 이중성 관계를 수립하여 모든 반정수 스펙트럼 무게를 통일적으로 다룰 수 있게 하며, $k$가 홀수일 때 스펙트럼 무게 $1/2-k$에서의 비해석적 부분이 올린 함수의 특수 $L$-값과 연결됨을 보여준다.

ABSTRACT

Recently, Bruinier and Ono proved that the coefficients of certain weight -1/2 harmonic weak Maaß forms are given as "traces" of singular moduli for harmonic weak Maaß forms. Here, we prove that similar results hold for the coefficients of harmonic weak Maaß forms of weight $3/2+k$, $k$ even, and weight $1/2-k$, $k$ odd, by extending the theta lift of Bruinier-Funke and Bruinier-Ono. Moreover, we generalize their result to include extit{twisted} traces of singular moduli using earlier work of the author and Ehlen. Employing a duality result between weight $k$ and $2-k$, we are able to cover all half-integral weights. We also show that the non-holomorphic part of the theta lift in weight $1/2-k$, $k$ odd, is connected to the vanishing of the special value of the $L$-function of a certain derivative of the lifted function.

연구 동기 및 목표

• 모든 반정수 스펙트럼 무게, 즉 $3/2+k$ 및 $1/2-k$에서의 짝수와 홀수 $k$를 포함하여 Bruinier-Funke 및 Bruinier-Ono θ-역을 일반화하는 것.
• 이전의 변형된 Bruinier-Funke 역에 대한 연구를 활용하여 특수 모듈러스의 변형된 추적을 포함한 이론을 확장하는 것.
• 모듈러 형식의 무게 $k$와 $2-k$ 사이의 이중성을 수립하여 모든 반정수 스펙트럼 무게를 통합적으로 다루는 것.
• 무게 $1/2-k$ ($k$ 홀수)에서의 θ-역의 비해석적 부분이 올린 함수의 특수 $L$-값의 소멸과 연결됨을 보여주는 것.
• 모의 테타 함수와 분할 함수에의 응용을 포함하여, 조화 마스스 형식의 푸리에 계수에 대한 명시적 공식을 제공하는 것.

제안 방법

• 논문은 고차 반정수 스펙트럼 무게로의 θ-역 일반화를 위해 변형된 Kudla-Millson θ 커널을 구성한다.
• 무게를 $-2k$에서 $3/2+k$ 또는 $1/2-k$로 옮기기 위해 Maaß 상승 및 강하 연산자를 활용한다. 이는 $k$의 기수에 따라 달라진다.
• 표현 $ar{\rho}$를 갖는 벡터-값 조화 마스스 형식을 사용하고, 헤긴 포인트와 계열 특성과 연관된 모듈러 추적 함수 $\mathbf{t}_{\Delta,r}(f;d,h)$를 정의한다.
• 무게 $k$와 $2-k$ 사이의 이중성을 적용하여 모든 반정수 스펙트럼 무게를 다루며, 무게 $k$ 형식의 쌍대는 무게 $2-k$ 형식임을 이용한다.
• 역은 Poincaré 급수를 통해 계산되며, 유도된 모듈러 형식의 주요 부분은 Ramanujan의 모의 테타 함수 $f(q)$와 같은 알려진 형식과 일치한다.
• 비해석적 부분은 $L$-함수의 특수 값에 대해 분석되며, 특히 $k$가 홀수일 경우 올린 함수의 $L$-값 소멸과 연결된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Bruinier-Funke 및 Bruinier-Ono θ-역을 짝수와 홀수 $k$를 포함한 모든 반정수 스펙트럼 무게로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 반정수 스펙트럼 무게의 조화 마스스 형식의 계수 공식에서 특수 모듈러스의 변형된 추적의 역할은 무엇인가?
• RQ3 무게 $k$와 $2-k$ 사이의 이중성은 모든 반정수 스펙트럼 무게를 통합적으로 다룰 수 있도록 계수 공식에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 무게 $1/2-k$ ($k$ 홀수)에서의 θ-역의 비해석적 부분과 올린 함수의 특수 $L$-값 사이의 연결 고리는 무엇인가?
• RQ5 이 일반화된 역과 이중성을 통해 모의 테타 함수의 푸리에 계수에 대한 명시적 공식을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 무게 $3/2+k$ ($k$ 짝수) 및 $1/2-k$ ($k$ 홀수)의 조화 마스스 형식의 푸리에 계수는 $-2k$ 무게의 올린 조화 마스스 형식의 CM-값 추적을 통해 주어지며, Maaß 상승 연산자를 통해 확장된다.
• 일반적으로 $k$가 짝수일 경우, 역의 $(d,h)$-번째 푸리에 계수는 $(-4\pi d)^{k/2}$ 곱하기 변형된 추적 $\mathbf{t}_{\Delta,r}(f;d,h)$이며, $f$는 무게 $-2k$이다.
• 일반적으로 $k$가 홀수일 경우, 무게 $1/2-k$에서의 θ-역의 비해석적 부분이 올린 함수의 특수 $L$-값 소멸과 연결됨을 보여준다.
• Ramanujan의 모의 테타 함수 $f(q)$의 계수 $a_f\left(\frac{|\Delta|+1}{24}\right)$는 변형된 추적의 선형 조합으로 주어진다: $-\frac{1}{8i\sqrt{|\Delta|}}(\mathbf{t}_{\Delta,1}(F;1,1) - \mathbf{t}_{\Delta,1}(F;1,5) + \mathbf{t}_{\Delta,1}(F;1,7) - \mathbf{t}_{\Delta,1}(F;1,11))$, 여기서 $F$는 무게 0의 약한 허무한 모듈러 형식이다.
• 역 $\Lambda^\circ(\tau,F)$의 주요 부분이 $G_{25}(\tau) = (q^{-25/24} + 25q^{-1/24})(\mathfrak{e}_1 - \mathfrak{e}_5 - \mathfrak{e}_7 + \mathfrak{e}_{11})$와 일치함을 보여주며, 이는 이중성에 의해 공식이 확인된다.
• 주요 부분이 $q^{-1}$인 Poincaré 급수의 역은 주요 부분이 $2i|\Delta|^{1/2}q^{-|\Delta|/24}(\mathfrak{e}_1 - \mathfrak{e}_5 + \mathfrak{e}_7 - \mathfrak{e}_{11})$인 형식을 생성하며, 이는 모의 테타 함수 $f(q)$의 요구 조건을 충족시킨다.