[논문 리뷰] Formulation of the normal forms of Turing-Hopf bifurcation in reaction-diffusion systems with time delay

Weihua Jiang, Qi An외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 28.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 시간 지연이 있는 반응-확산 시스템에서 튜링-홉프 분기의 명시적 제3차 정규형을 중심다양체 이론과 부분함수미분방정식(PFDE)에 대한 정규형 이론을 사용하여 유도한다. 제약 조건이 없는 H5 가정을 필요로 하지 않는 사용자 우호적인 행렬형 프레임워크를 제공하여, 고차원 분기점 근처에서 공간-시간 패턴, 즉 안정한 공간적으로 비균일한 정 steady 상태와 시간 주기적 해의 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The normal forms up to the third order for a Hopf-steady state bifurcation of a general system of partial functional differential equations (PFDEs) is derived based on the center manifold and normal form theory of PFDEs. This is a codimension-two degenerate bifurcation with the characteristic equation having a pair of simple purely imaginary roots and a simple zero root, and the corresponding eigenfunctions may be spatially inhomogeneous. The PFDEs are reduced to a three-dimensional system of ordinary differential equations and precise dynamics near bifurcation point can be revealed by two unfolding parameters. The normal forms are explicitly written as functions of the Fréchet derivatives up to the third orders and characteristic functions of the original PFDEs, and they are presented in a concise matrix notation, which greatly eases the applications to the original PFDEs and is convenient for computer implementation. This provides a user-friendly approach of showing the existence and stability of patterned stationary and time-periodic solutions with spatial heterogeneity when the parameters are near a Turing-Hopf bifurcation point, and it can also be applied to reaction-diffusion systems without delay and the retarded functional differential equations without diffusion.

연구 동기 및 목표

• 일般적인 시간 지연이 있는 부분함수미분방정식(PFDE) 시스템에서 호프-정상상태 분기의 제3차까지의 정규형을 체계적으로 계산하는 방법을 개발하는 것.
• 기존 방법이 일반적으로 성립하지 않는 H5 가정에 의존하는 제약 조건을 초월하여, 호프-정상상태 분기에서 성립하지 않는 한계를 극복하는 것.
• 원래 시스템의 프레셰 도함수와 특성 함수를 바탕으로 정규형 계수의 명시적이고 계산 가능성이 높은 공식을 제공하는 것.
• 튜링-홉프 분기점 근처에서 공간적으로 비균일한 정상상태와 시간 주기적 해의 존재성 및 안정성 분석을 가능하게 하는 것.
• 유전자 발현 지연이 있는 확산 슈나켄베르크 시스템과 같은 실제 모델에 대한 적용 가능성을 보여주는 것.

제안 방법

• 분기점 근처에서 원래의 무한차원 PFDE 시스템을 중심다양체 축소를 통해 3차원의 상미분방정식(ODE) 시스템으로 줄이는 것.
• 특히 페라(2001, 2003)의 프레임워크를 확장하여, H5 가정이 필요 없이 제3차 정규형을 계산하는 PFDE에 대한 정규형 이론을 적용하는 것.
• 시스템의 프레셰 도함수를 제3차까지 사용하여 정규형 계수의 명시적 행렬형 표현을 유도하는 것.
• 이차 및 삼차 연산자(Q 및 H)의 대칭 다중선형성 특성을 활용하여 고유함수와 쌍대 고유함수를 기반으로 정규형 항을 체계적으로 계산하는 것.
• 접선 매개변수(예: 시간 지연 및 기타 제어 매개변수)를 원래 시스템 매개변수의 함수로 표현하여 추상적인 정규형을 물리적 또는 생물학적 모델과 연결하는 것.
• 노이만 경계 조건을 갖는 확산 슈나켄베르크 시스템에 대해 방법을 검증하여, 매개변수 조건이 공간적으로 비균일한 정상상태와 주기적 해를 안정적으로 유도하는 방식을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 지연이 있는 반응-확산 시스템에서 코드미ension-2 호프-정상상태 분기의 정규형을 어떻게 체계적으로 도출할 수 있는가?
• RQ2 원래 시스템의 프레셰 도함수와 특성 함수를 기반으로 한 제3차 정규형 계수의 명시적 공식은 무엇인가?
• RQ3 특히 공간적으로 비균일한 고유함수를 갖는 시스템에 대해서도 정규형 계산이 계산 효율성과 구현 가능성이 있도록 만들 수 있는가?
• RQ4 유도된 정규형을 사용하여 공간적으로 비균일한 정상상태와 시간 주기적 해와 같은 비자명한 공간-시간 패턴의 존재성 및 안정성을 어떻게 결정할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법이 지연 시스템을 초월하여 고전적 반응-확산 시스템과 확산이 없는 기능미분방정식으로까지 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 시간 지연이 있는 PFDE 시스템에서 호프-정상상태 분기의 제3차 정규형 계수를 완전히 도출하였으며, 컴퓨터 구현에 적합한 간결한 행렬 표기법을 사용한다.
• 정규형 계수는 제3차까지의 프레셰 도함수와 원래 시스템의 특성 함수의 함수로 명시적으로 기술되어 있어 특정 모델에 직접 적용할 수 있다.
• 기존 연구에서 일반적으로 사용되는 H5 가정이 필요 없으며, 이는 호프-정상상태 분기에서 일반적으로 위반되기 때문에 이전 연구에 비해 적용 가능한 시스템의 범위를 넓힌다.
• 중심다양체 위의 축소된 3차원 ODE 시스템은 분기점 근처의 전체 국소 동역학을 잘 반영하며, 두 개의 접선 매개변수를 원래 시스템 매개변수로 되돌릴 수 있다.
• 시간 지연이 있는 확산 슈나켄베르크 시스템에 대해, 프레임워크는 튜링-홉프 분기점 근처에서 안정적인 공간적으로 비균일한 정상상태와 시간 주기적 해가 나타나는 명시적 매개변수 조건을 도출한다.
• 이 방법은 지연 여부에 관계없이 반응-확산 시스템과 확산이 없는 기능미분방정식에도 일반적으로 적용 가능하며, 다양한 동역학계에 넓은 유용성을 보여준다.