[논문 리뷰] Formule de Plancherel pour les fonctions de Whittaker sur un groupe r\\'eductif $p$-adique

Patrick Delorme|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 12.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 18인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 재수성 군 $G$ 위에서의 윌리엄슨 함수에 대한 플랑커렐 공식을 수립하며, 윌리엄슨 벡터를 통한 $L^2$-함수의 스펙트럼 분해를 도출한다. 포화 부분군의 구조, 랭글랜드스–레프셰츠 이론, 그리고 유도 표현 이론을 사용하여 정규 표현을 기약 성분들로 분해하는 기본적인 분해를 증명하며, $G$ 위에서 윌리엄슨 함수에 대한 완전한 스펙트럼 해석을 제공한다. 핵심 기여는 $L$-함수와 통합 연산자로 표현된 플랑커렐 측도에 대한 정확한 공식이다.

ABSTRACT

We prove the Plancherel formula for Whittaker functions on a reductive p-adic group. This a sequel to our work on Paley-Wiener theorem. Our proof is close to the proof written by Waldspurger of the Harish-Chandra Plancherel formula for smooth functions on the group and use many of his results. One simplification is the easy proof of the Fourier transfom, which follows from a result of Joseph Bernstein.

연구 동기 및 목표

• 모수 $p$-진 재수성 군 $G$ 위에서 윌리엄슨 함수를 통한 $L^2(G)$의 스펙트럼 분해를 수립하는 것.
• 플랑커렐 측도를 $L$-함수와 통합 연산자로 표현하여 윌리엄슨 벡터에 대해 결정하는 것.
• 고전적 플랑커렐 공식을 $p$-진 설정에서 윌리엄슨 모델로 일반화하는 것.
• 윌리엄슨 함수형으로서의 $G$의 유니터리 쌍대를 완전히 기술하는 것.

제안 방법

• 최소 포화 부분군 $P_0 = M_0 U_0$ 와 그 반대 포화 부분군 $P_0^-$, 그리고 리 군 $M_0$ 의 구조를 사용한다.
• 유도 표현 이론과 통합 연산자 이론을 적용하여 유도 모듈러스 위의 윌리엄슨 함수형을 분석한다.
• 랭글랜드–레프셰츠 이론을 활용하여 스펙트럼 분해를 $L$-함수와 표준 모듈러스로 연결한다.
• 특성 $ one$ 에 대해 $U_0$ 위에서 비퇴화된 윌리엄슨 함수형을 $Ind_{P_0}^G( ho)$ 유도 표현에 도입한다.
• 통합 연산자의 정규화와 $L$-함수의 함수방정식을 통해 플랑커렐 측도를 도출한다.
• 최대 컴act 부분군 $K$ 를 $A_0$ 에 대해 정의하여 $K$-불변 벡터를 정의하고 $L^2(G)$ 를 분해한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 플랑커렐 공식은 어떻게 $p$-진 재수성 군 위의 윌리엄슨 함수로 확장될 수 있는가?
• RQ2 플랑커렐 측도는 $p$-진 설정에서 윌리엄슨 벡터에 대해 정확히 어떤 형태를 가질까?
• RQ3 $L$-함수와 통합 연산자는 $L^2(G)$ 의 스펙트럼 분해에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 최소 포화 부분군과 그 리 군 성분은 윌리엄슨 함수형의 구성에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 윌리엄슨 모델은 $G$ 의 유니터리 쌍대와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 플랑커렐 공식은 $L^2(G)$ 의 윌리엄슨 벡터를 통한 스펙트럼 분해를 사용하여 $G$ 위의 윌리엄슨 함수에 대해 도출된다.
• 플랑커렐 측도는 표준 $L$-함수와 통합 연산자의 정규화로 표현된다.
• $L^2(G)$ 의 기약 유니터리 표현들로의 분해는 유도 표현 위의 윌리엄슨 함수형을 통해 실현된다.
• $Ind_{P_0}^G(\rho)$ 위의 비퇴화 윌리엄슨 함수형은 스칼라 곱을 제외하고 유일함이 증명되어 스펙트럼 해석이 잘 정의됨을 보장한다.
• 이 공식은 윌리엄슨 모델과 $G$ 의 유니터리 쌍대 사이의 이중성을 수립하며, 고전 결과를 $p$-진 경우로 일반화한다.
• 결과는 윌리엄슨 벡터와 $L$-함수로 표현된 $G$ 의 $L^2$-스펙트럼을 완전히 기술한다.