[논문 리뷰] Forward and Inverse Uncertainty Quantification using Multilevel Monte Carlo Algorithms for an Elliptic Nonlocal Equation

Ajay Jasra, Kody J. H. Law외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 21.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 매개변수를 가진 타원형 비국소 방정식에서의 전방 및 역방향 불확실성 정량화(UQ)를 위한 다중수준 몬테카를로(MLMC) 및 다중수준 순차 몬테카를로(MLSMC) 알고리즘을 제안한다. 이러한 방법들이 평균 제곱 오차 𝒪(ε²)를 달성할 때 최적의 계산 복잡도 𝒪(ε⁻²)를 확보하며, 랜덤 커널 매개변수와 노이즈가 있는 관측값을 가진 비국소 PDE를 풀 때 기존 몬테카를로 샘플링에 비해 비용을 크게 감소시킴을 보여준다.

ABSTRACT

This paper considers uncertainty quantification for an elliptic nonlocal equation. In particular, it is assumed that the parameters which define the kernel in the nonlocal operator are uncertain and a priori distributed according to a probability measure. It is shown that the induced probability measure on some quantities of interest arising from functionals of the solution to the equation with random inputs is well-defined; as is the posterior distribution on parameters given observations. As the elliptic nonlocal equation cannot be solved approximate posteriors are constructed. The multilevel Monte Carlo (MLMC) and multilevel sequential Monte Carlo (MLSMC) sampling algorithms are used for a priori and a posteriori estimation, respectively, of quantities of interest. These algorithms reduce the amount of work to estimate posterior expectations, for a given level of error, relative to Monte Carlo and i.i.d. sampling from the posterior at a given level of approximation of the solution of the elliptic nonlocal equation.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 커널 매개변수를 가진 타원형 비국소 방정식에 대한 전방 및 역방향 불확실성 정량화(UQ)를 다루기.
• 해의 노이즈가 있는 관측값에 조건부로 설정된 랜덤 커널 매개변수를 가진 베이지안 역문제를 설정하기.
• 사전 및 사후 분포 하에서 관심 있는 양의 기대값을 추정하기 위한 효율적인 샘플링 알고리즘 개발하기.
• 다중수준 샘플링 전략을 활용하여 비국소 모델에서의 UQ에 대한 계산 비용을 감소시키기.
• 고차원 또는 무한차원 매개변수 공간에서 최적 수렴 속도와 비용 효율성에 대한 이론적 및 수치적 증거 확립하기.

제안 방법

• 매개변수 $ \lambda = (\theta, \alpha, \delta) $를 가진 파라미터화된 커널 $ B_{\lambda}(x,x') $를 사용하여 비국소 연산자를 모델링하고, $ \lambda $에 사전 분포를 부여하기.
• 다양한 메쉬 수준 $ h_\ell = 2^{-(k+\ell)} $에서 비국소 방정식의 해를 수치적으로 근사하기 위해 비연속 갈레르킨 형식을 사용한 유한요소법(FEM) 적용하기.
• 다중수준 몬테카를로(MLMC) 프레임워크를 사용하여 수준 간 결합된 샘플을 조합함으로써 사전 기대값을 추정하고, 텔레스코프 합을 통해 분산을 감소시키기.
• 사후 기대값을 근사하기 위해 다중수준 순차 몬테카를로(MLSMC)를 사용하며, 중요도 샘플링과 재표본 추출을 통해 수준 간 입자 전파를 수행하여 사후 집중을 처리하기.
• 선형 요소에서 $ \beta = 4 $인 수렴 속도 $ \mathcal{O}(h^{m+t}) $를 활용하여 수준 간 계산 비용과 정확도를 균형 잡기.
• 관측값이 두 지점에서 이루어지고 $ y|u \sim N(m(u), \sigma^2) $인 우도 모델을 사용하여 사후를 조건화하고, 관심 있는 양으로 $ u(0.5) $를 추정하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 매개변수를 가진 비국소 타원형 PDE에서 다중수준 몬테카를로 방법이 전방 및 역방향 UQ에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 동일한 정확도에서 비국소 UQ의 표준 i.i.d. 몬테카를로 샘플링에 비해 MLMC 및 MLSMC의 계산 비용은 얼마나 감소하는가?
• RQ3 유한요소법(FEM) 근사의 수렴 속도는 비국소 문제에서 불연속 해를 가진 경우 다중수준 샘플링의 효율성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 우도가 작은 부분공간에 집중되어 있을 때, 비국소 방정식에 대한 베이지안 역문제에서 MLSMC가 사후 분포를 효과적으로 처리할 수 있는가?
• RQ5 이러한 비국소 모델에 대해 실무에서 MLMC 및 MLSMC 추정기의 경험적 수렴 속도는 무엇인가?

주요 결과

• MLMC 알고리즘은 평균 제곱 오차 𝒪(ε²)를 달성하기 위해 계산 비용을 $ \mathcal{O}(\varepsilon^{-2}) $로 유지하며, 최적 속도를 달성하고 기존 i.i.d. 몬테카를로 샘플링을 능가함을 입증함.
• MLSMC 알고리즘 역시 평균 제곱 오차 𝒪(ε²)를 달성하기 위해 $ \mathcal{O}(\varepsilon^{-2}) $의 비용을 기록하며, 역문제의 사후 추정에서 효율성을 입증함.
• 수치 실험 결과에서 사전의 경우 추정 수렴 속도 $ \hat{\alpha} = 2.005 $, 사후의 경우 $ \hat{\beta} = 4.271 $를 관측하였으며, 이는 이론적 값 $ \alpha = 2 $, $ \beta = 4 $와 가까워 다중수준 프레임워크의 타당성을 검증함.
• 불연속 해와 매개변수에 의존하는 커널을 효과적으로 처리하며, 노드가 불연속성과 일치할 경우에도 수렴성이 유지됨.
• 사후 분포는 잘 정의되어 있고 집중되어 있어, 우도의 작은 지지부분에도 불구하고 순차 몬테카를로의 효과적인 적용이 가능함.
• 결론에서 언급한 바와 같이, 이 프레임워크는 고차원, 공간적으로 변화하는 매개변수, 시간에 따라 변하는 또는 무한차원 매개변수 공간으로의 확장이 가능함.