[논문 리뷰] Forward Arc Maximization for Hamilton Oriented Cycles and Paths in Generalizations of Tournaments

Q. Guo, G. Gutin외 4명|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 11.

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한 줄 요약

이 논문은 일반화된 토너먼트의 Hamiltonian 방향 순환/경로에서 앞으로로의 선(Forward arcs)을 최대화하는 것을 연구하고, 비용 기반 특성화에 따라 다항 시간 알고리즘을 세미콤플리트 멀티파트 및 로컬리 세미콤플리트 다이그래프에 제공한다.

ABSTRACT

Gishboliner, Krivelevich, and Michaeli (2023) conjectured the following generalization of Dirac's theorem: If the minimum degree $δ$ of an $n$-vertex oriented graph $G$ is greater or equal to $n/2$, then $G$ has a Hamilton oriented cycle with at least $δ$ forward arcs. Freschi and Lo (2024) proved this conjecture. In this paper, we study the problem of maximizing the number of forward arcs in Hamilton oriented cycles/paths in generalizations of tournaments. We obtain characterizations for the maximum number of forward arcs in semicomplete multipartite digraphs and locally semicomplete digraphs. These characterizations lead to polynomial-time algorithms. Note that the above problems are NP-hard for some other generalizations of tournaments even though the Hamilton cycle problem is polynomial-time solvable for these digraph classes.

연구 동기 및 목표

• Dirac-type 결과를 일반화하여 Hamiltonian 방향 순환 및 경로에서 앞으로 아크를 최대화한다.
• 세미콤플릿 다이그래프에서 최대 앞으로 아크 차이(불일치)를 특성화한다.
• 특정 다이그래프 클래스에서 최적의 Hamiltonian 구조를 찾기 위한 다항 시간 알고리즘을 제공한다.

제안 방법

• 부분집합 크기에 대한 HC-majority 및 HP-majority 부등식을 통해 Hamiltonian 존재를 특성화한다.
• 대칭(0,1)-다이그래프를 사용하여 앞으로의 아크 최대화를 비용 최적화 문제로 변환한다.
• 대칭 다이그래프에서 최대 비용 1-경로-사이클 팩터를 계산하여 최적의 Hamiltonian 경로를 얻는다.
• 최대 비용 사이클 팩터를 계산하여 최적의 Hamiltonian 순환을 얻고, 다항 시간 구성으로 이를 제시한다.
• 세미콤플리트 멀티파트 및 로컬리 세미콤플리트 다이그래프의 사이클 팩터 및 Hamiltonicity에 대한 기존 결과를 활용하여 알고리즘을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 HP/HC-다수성 조건하에서 세미콤플리트 멀티파트 다이그래프의 Hamiltonian 방향 경로 또는 순환에서 가능한 최대 앞으로 아크 수는 얼마인가?
• RQ2 대칭 다이그래프의 비용 기반 사이클/경로 인자를 사용하여 이 최대치를 다항 시간에 특성화하고 계산할 수 있는가?
• RQ3 로컬리 세미콤플리트 다이그래프의 구조가 Hamiltonian 방향 순환의 최대 앞으로 아크 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이러한 다이그래프 클래스에서 최대 앞으로 아크를 갖는 Hamiltonian 구조를 찾기 위한 알고리즘적 함의는 무엇인가?

주요 결과

• HP-majority 부등식을 만족하는 세미콤플리트 다이그래프에서 Hamiltonian 방향 경로의 최대 앞으로 아크 수는 대칭 다이그래프에서의 1-경로-사이클 팩터의 최대 비용과 같다.
• 이러한 다이그래프에서 Hamiltonian 방향 순환의 최대 앞으로 아크 수는 대칭 다이그래프의 사이클 팩터의 최대 비용과 같으며, 최대값이 n이고 다이그래프가 Hamiltonian이 아닐 때의 예외가 있다.
• 두 최대값과 대응하는 Hamiltonian 구조를 다항 시간에 계산할 수 있다.
• 이 설정에서 최대 비용의 1-경로-사이클 팩터를 Hamiltonian 경로로 변환하는 다항 시간 알고리즘이 존재한다.
• 다이그래프가 강하면 Hamiltonian 방향 순환의 최대 앞으로 아크 수는 n이고, 강하지 않으면서 기저 그래프가 2-연결인 경우에는 처음 강한 성분과 마지막 강한 성분 사이의 거리만큼을 빼면 된다.