[논문 리뷰] Forward-Backward Stochastic Differential Systems Associated to Navier-Stokes Equations in the Whole Space

Freddy Delbaen, Jinniao Qiu외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 40인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전체 공간에서 압축성 없는 나비에-스토크스 방정식을 위한 전진-후진 확률미분계수계(FBSDE)를 수립하여, 레이놀즈 수가 작거나 2차원 흐름인 조건 하에서 국소적이고 전역적인 해의 존재성과 유일성을 확립한다. FBSDE를 통한 나비에-스토크스 해의 확률적 표현을 제공하며, 이를 라그랑주 표현과 변분원리와 연결한다.

ABSTRACT

A coupled forward-backward stochastic differential system (FBSDS) is formulated in spaces of fields for the incompressible Navier-Stokes equation in the whole space. It is shown to have a unique local solution, and further if either the Reynolds number is small or the dimension of the forward stochastic differential equation is equal to two, it can be shown to have a unique global solution. These results are shown with probabilistic arguments to imply the known existence and uniqueness results for the Navier-Stokes equation, and thus provide probabilistic formulas to the latter. Related results and the maximum principle are also addressed for partial differential equations (PDEs) of Burgers' type. Moreover, from truncating the time interval of the above FBSDS, approximate solution is derived for the Navier-Stokes equation by a new class of FBSDSs and their associated PDEs; our probabilistic formula is also bridged to the probabilistic Lagrangian representations for the velocity field, given by Constantin and Iyer (Commun. Pure Appl. Math. 61: 330--345, 2008) and Zhang (Probab. Theory Relat. Fields 148: 305--332, 2010) ; finally, the solution of the Navier-Stokes equation is shown to be a critical point of controlled forward-backward stochastic differential equations.

연구 동기 및 목표

• 전체 공간에서 압축성 없는 나비에-스토크스 방정식의 확률적 표현을 전진-후진 확률미분계수계(FBSDE)를 이용하여 수립하기.
• 작은 레이놀즈 수 또는 차원 d=2와 같은 조건 하에서 FBSDE의 국소적이고 전역적인 해의 존재성과 유일성을 증명하기.
• 확률적 추론을 통해 FBSDE 해가 기존의 나비에-스토크스 방정식에 대한 존재성 및 유일성 결과와 연결됨을 보여주기.
• FBSDE 수식을 콘스탄틴과 아이어, 장이 개발한 속도장의 확률적 라그랑주 표현과 연결하기.
• 나비에-스토크스 해가 제어된 전진-후진 확률미분계수계의 임계점으로 나타남을 보여주기.

제안 방법

• 후진 나비에-스토크스 방정식을 위한 확률적 장의 공간에서 연립 FBSDE를 수립하며, 입자 궤적을 위한 전진 SDE와 속도장 및 기울기 장을 위한 후진 SDE를 포함한다.
• 기리산프의 정리와 비스무트-엘워티-리 공식을 포함한 확률적 추론을 적용하여 속도장과 압력장을 표현한다.
• 소볼레프 공간(H^m)에서의 사전 추정과 시간 간격에서의 절단 기법을 사용하여 근사 해를 도출한다.
• 이토의 정리와 BDG 부등식을 활용하여 L^2 및 소볼레프 노름에서 근사 수열의 수렴을 제어한다.
• 파인만-카크 공식과 확률적 표현 정리를 활용하여 FBSDE 해와 PDE 해를 연결한다.
• 역류 맵과 장별 확률과정을 통해 FBSDE와 나비에-스토크스 방정식 간의 동치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 공간에서 압축성 없는 나비에-스토크스 방정식을 표현하기 위해 전진-후진 확률미분계수계를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 FBSDE는 어떤 조건에서 유일한 전역 해를 갖는가?
• RQ3 이 FBSDE 수식은 콘스탄틴과 아이어 또는 장이 개발한 기존의 나비에-스토크스 방정식의 확률적 표현과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 나비에-스토크스 방정식의 해가 제어된 FBSDE 시스템의 임계점으로 특징지어질 수 있는가?
• RQ5 FBSDE 해와 속도장의 라그랑주 표현 간의 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 전체 공간에서 나비에-스토크스 방정식에 대해 FBSDE는 유일한 국소적 해를 갖는다.
• 레이놀즈 수가 작거나 2차원(d=2)인 조건 하에서 FBSDE는 유일한 전역 해를 갖는다.
• FBSDE 해는 나비에-스토크스 방정식의 속도장에 대한 확률적 공식을 제공하며, 기존의 존재성 및 유일성 결과를 복원한다.
• FBSDE 수식은 콘스탄틴과 아이어(2008) 및 장(2010)의 속도장에 대한 확률적 라그랑주 표현과 동치임을 보였다.
• 나비에-스토크스 방정식의 해는 제어된 전진-후진 확률미분계수계의 임계점으로 특징지어진다.
• 근사 FBSDE의 수렴이 소볼레프 노름에서 확립되었으며, 그 극한은 원래 FBSDE를 만족하고 따라서 나비에-스토크스 방정식도 만족한다.