[논문 리뷰] Forward Invariance of Sets for Hybrid Dynamical Systems (Part I)

Jun Chai, Ricardo G. Sanfelice|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 15.

Extremum Seeking Control Systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상태 및 외란 제약 조건이 있는 하이브리드 포함형으로 모델링된 하이브리드 동역학계에 대해 강건한 전방 불변성 조건을 제안한다. Zeno 해와 유한시간 종료 해를 포함한 모든 허용 가능한 외란 하에서 집합이 불변을 유지하도록 보장하는 충분조건—접선 원추와 유동/점프 맵 성질에 기반—을 수립하며, 라플라스 유사 하위레벨 집합과 DC/AC 인버터 시스템에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

In this paper, tools to study forward invariance properties with robustness to dis- turbances, referred to as robust forward invariance, are proposed for hybrid dynamical systems modeled as hybrid inclusions. Hybrid inclusions are given in terms of dif- ferential and difference inclusions with state and disturbance constraints, for whose definition only four objects are required. The proposed robust forward invariance notions allow for the diverse type of solutions to such systems (with and without dis- turbances), including solutions that have persistent flows and jumps, that are Zeno, and that stop to exist after finite amount of (hybrid) time. Sufficient conditions for sets to enjoy such properties are presented. These conditions are given in terms of the objects defining the hybrid inclusions and the set to be rendered robust forward invariant. In addition, as special cases, these conditions are exploited to state results on nominal forward invariance for hybrid systems without disturbances. Furthermore, results that provide conditions to render the sublevel sets of Lyapunov-like functions forward invariant are established. Analysis of a controlled inverter system is presented as an application of our results. Academic examples are given throughout the paper to illustrate the main ideas.

연구 동기 및 목표

• 외란이 있는 하이브리드 포함형에 대해 강건한 전방 불변성을 공식화하여, 모든 허용 가능한 외란 하에서 해가 집합 내에 머무르도록 보장한다.
• Zeno, 지속적 유동, 유한시간 종료와 같은 복잡한 해 행동을 포함한 하이브리드 시스템에서의 불변성 도전 과제를 다룬다.
• 유동 및 점프 맵을 포함한 시스템의 자료를 이용하여 강건 및 명시적 전방 불변성에 대한 충분조건을 유도한다.
• 라플라스 유사 함수의 하위레벨 집합에 결과를 특수화하여, 볼록성 또는 경계에서의 엄격한 감소 조건을 통한 불변성 검증을 가능하게 한다.
• 제어된 단상 DC/AC 인버터 시스템의 분석과 수치적 검증을 통해 적용 가능성을 입증한다.

제안 방법

• 유동 및 점프 집합, 유동 및 점프 맵, 외란 제약 조건을 포함하는 네 핵심 구성요소로 정의된 하이브리드 포함형을 이용해 강건한 전방 불변성을 공식화한다.
• 사용자 정의된 네 가지의 불변성 개념을 도입하며, 그 중 두 가지 강력한 개념은 모든 최대 해 쌍이 외란 하에서도 집합 내에 머무르도록 요구한다.
• 접선 원추 포함 조건에 기반한 충분조건을 유도한다: 집합의 경계점에서 유동 벡터는 집합 내부를 향해야 하며, 점프 맵은 불변성을 유지해야 한다.
• 유역 집합의 경계에서 유동 맵의 국소 리프시츠 연속성을 보장하기 위해 가정 4.14를 적용하여 도전을 방지한다.
• 집합 다중값 함수에 대한 보조 결과와 레마 4.12를 활용하여 불변성 조건을 검증하며, 특히 라플라스 유사 하위레벨 집합에 대해 적용한다.
• 후속 연구에서 제어기 설계를 위해 점별 최소 노름 선택 기법을 활용하고, MATLAB HyEQ 도구상자로 수치적 검증을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외란이 있는 하이브리드 시스템에 대해 Zeno 해와 유한시간 해를 포함하여 강건한 전방 불변성을 어떻게 공식적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 하이브리드 포함형에서 모든 허용 가능한 외란 하에서 집합이 불변을 유지하기 위한 충분조건은 무엇인가?
• RQ3 라플라스 유사 함수의 하위레벨 집합은 어떻게 명시적 및 강건 조건 하에서 전방 불변으로 만들 수 있는가?
• RQ4 최대 해 쌍의 존재성과 완전성이 불변 집합 내에서 보장되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 제안된 불변성 조건은 전자 전력 인버터와 같은 실제 하이브리드 시스템에 어떻게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 유동 맵과 점프 맵의 이미지가 경계점에서 집합의 접선 원추에 포함될 때 강건한 전방 불변성에 대한 충분조건이 수립된다.
• 외란이 제거된 경우 명시적 전방 불변성이 특수한 경우로 복원되며, 조건은 표준 불변성 기준으로 축소된다.
• 라플라스 유사 하위레벨 집합의 경우, 유동 맵이 내부를 향하거나 함수가 경계에서 엄격히 감소하면 불변성이 유지되며, 특히 볼록성 조건이 성립할 경우 더욱 강력하다.
• 유동 중 외란이 0이 허용되는 경우, 불변 집합의 모든 점에서 비자명하고 완전한 해 쌍의 존재가 보장된다.
• DC/AC 인버터 시스템의 수치 시뮬레이션 결과, 모든 초기 조건과 외란 입력 하에서 폐쇄 루프 시스템이 목표 집합 내에 머무름을 확인하였다.
• 제어기 설계는 출력 전압이 원하는 주파수로 정현파 유사 동작을 하도록 보장하며, 보조 자료의 FFT 분석을 통해 검증되었다.