[논문 리뷰] Foundations for conditional probability

Ladislav Mečíř|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 08.

Bayesian Modeling and Causal Inference인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 무작위 양에 대한 타당한 전순서를 근거로 조건부 확률을 유도함으로써 확률의 기초를 재정의한다. 이 과정에서 모든 일관된 확률 규칙—베이즈의 정리 포함—이 자연스럽게 유도됨을 보여준다. 주요 기여는 모든 일관된 확률 함수가 비율 정의가 실패하는 경우(예: P(C) = 0일 때)를 방지하는 타당하게 완전한 함수로 확장될 수 있음을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

The main result presented in this article is that probability can fundamentally be characterized as a subset of conditional expectation induced by a plausible preorder on random quantities. This is justified by the fact that probability is coherent as confirmed by its common formalizations, and by our result that a function is coherent if and only if it is a subset of conditional expectation induced by a plausible preorder on random quantities. In addition to offering a different perspective on conditional probability, our use of a plausible preorder in the role of a fundamental notion extends conditional probability to cases in which the calculation of conditional probability using the P(A|C)=\frac{P(A\wedge C)}{P(C)} rule fails: if P is a coherent function, then it can be extended so that for every event A and nonzero event C holds that P(A|C)=0 if A\wedge C=0 and P(A|C)=1 if A\wedge C=C, no matter whether the unconditional probability P(C) is zero or whether it is defined.

연구 동기 및 목표

• 조건부 확률의 기초적 한계, 특히 P(C) = 0 또는 정의되지 않을 경우 P(A|C) = P(A∧C)/P(C) 비율 정의가 실패하는 문제를 해결하기 위해.
• 조건부 기대값에 대한 후hoc적 가정을 피하면서도 더 일반적이고 논리적으로 엄밀한 확률 기초를 제공하기 위해.
• 무작위 양에 대한 타당한 전순서에 의해 자연스럽게 유도되는 함수로서 확률를 형식화함으로써 일관성과 완전성을 보장하기 위해.
• 모든 표준 확률 형식화(코모고로프, 코크스, 데프레-티플러)가 이 틀 안에서 일관되고 임베딩 가능하다는 것을 보여주기 위해.
• 일관성이 타당하게 완전한 함수로의 확장성과 동치임을 확립하여, 정규 타당한 전순서에 의해 유도된 조건부 기대값에 의해 정의되는 함수가 표준 형식화임을 증명하기 위해.

제안 방법

• 무작위 양을 실수 위의 단위 원소를 갖는 결합법칙, 교환법칙을 만족하는 대수로 정의하고, 실수의 표준 통합을 이 대수에 포함시킨다.
• 무작위 양 상의 타당한 전순서를 기본 관계로 도입하고, 이를 바탕으로 조건부 전순서를 유도한다.
• 사건을 등幂 원소(A.A = A)로 정의하고, 자연스러운 순서(A ≤ B iff A ∧ B = A)를 사용하여 논리적 관계를 체계화한다.
• C가 0이 아닌 사건일 때, 쌍(X, C)에서 확장된 실수로의 부분 함수로서 조건부 기대값을 전순서의 구조를 이용해 구성한다.
• 세 가지 확률 형식화—코모고로프형, 코크스형, 데프레-티플러형—을 형식화하고, 각각이 일관성과 확률 규칙을 만족함을 보인다.
• 일관성이 정규 타당한 전순서에 의해 유도된 조건부 기대값으로의 확장성과 동치임을 증명함으로써, 타당하게 완전한 함수가 표준 형식화임을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조건부 확률은 무작위 확률의 비율보다 더 기본적인 관계에서 도출될 수 있는가?
• RQ2 P(C) = 0 또는 정의되지 않을 경우에도 정의될 수 있도록 확률를 어떻게 형식화할 수 있는가?
• RQ3 일관성, 타당한 전순서, 조건부 기대값 존재성 간의 논리적 관계는 무엇인가?
• RQ4 모든 표준 확률 형식화(코모고로프, 코크스, 데프레-티플러)는 이 통합 틀 안에서 일관되고 임베딩 가능한가?
• RQ5 모든 일관된 사례를 손실 없이 포함하는 표준 확률 형식화는 존재하는가?

주요 결과

• 베이즈의 정리를 포함한 모든 확률 규칙은 비율 정의를 가정하지 않고 타당한 전순서에서 도출될 수 있다.
• A ∧ C = 0이면 조건부 확률 P(A|C)는 0으로 정의되고, A ∧ C = C이면 1로 정의되며, 이는 P(C)가 0이거나 정의되지 않더라도 성립한다.
• P(C) = 0일 경우 비율 정의 P(A|C) = P(A∧C)/P(C)는 P(A|C)를 정의하지 못하므로 타당하게 불완전하다.
• 모든 일관된 함수는 타당하게 완전한 함수로 확장될 수 있으며, 이는 확률을 손실 없이 그러한 함수로 형식화할 수 있음을 의미한다.
• 일관성은 정규 타당한 전순서에 의해 유도된 조건부 기대값으로의 확장성과 동치이며, 이는 통합적 기초를 확립한다.
• 모든 표준 형식화—코모고로프형, 코크스형, 데프레-티플러형—은 일관되며, 그 규칙들은 제안된 전순서 기반 틀에서 도출될 수 있다.