[논문 리뷰] Foundations of Reasoning with Uncertainty via Real-valued Logics

Ronald Fagin, Ryan Riegel외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 06.

Advanced Algebra and Logic인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 실수 값 논리학을 사용한 불확실성에 대한 추론을 위한 타당하고 강한 완전성의 공리체계를 제안하며, 신경-기호 AI 시스템에서 정밀하고 수학적으로 기반된 논리적 추론을 가능하게 한다. 이는 가중치가 부여된 부분 공식을 지원하는 매개변수화된 프레임워크를 도입하고, 핵심 실수 값 논리학에 대한 선형 프로그래밍 기반의 결정 절차를 제공함으로써, 논리적 신경망(LNNs)에 대한 첫 번째 증명 가능하게 타당하고 완전한 추론 체계를 확립한다.

ABSTRACT

Real-valued logics underlie an increasing number of neuro-symbolic approaches, though typically their logical inference capabilities are characterized only qualitatively. We provide foundations for establishing the correctness and power of such systems. We give a sound and strongly complete axiomatization that can be parametrized to cover essentially every real-valued logic, including all the common fuzzy logics. Our class of sentences are very rich, and each describes a set of possible real values for a collection of formulas of the real-valued logic, including which combinations of real values are possible. Strong completeness allows us to derive exactly what information can be inferred about the combinations of real values of a collection of formulas given information about the combinations of real values of several other collections of formulas. We then extend the axiomatization to deal with weighted subformulas. Finally, we give a decision procedure based on linear programming for deciding, for certain real-valued logics and under certain natural assumptions, whether a set of our sentences logically implies another of our sentences.

연구 동기 및 목표

• 실수 값 논리학에서 논리적 추론을 위한 공식적이고 수학적으로 엄밀한 기반을 마련하는 것. 이는 많은 현대 신경-기호 AI 시스템의 기초가 되는 바탕이다.
• 확률적, 흐린, 신경-기호 추론에서 널리 사용되고 있음에도 불구하고, 실수 값 논리학에서 강한 완전성과 타당한 공리체계의 부재를 해결하는 것.
• 논리적 신경망(LNNs)과 같은 시스템에서 구성 요소의 상대적 영향력을 모델링할 수 있는 가중치가 부여된 부분 공식을 다룰 수 있도록 논리적 추론을 확장하는 것.
• 연속적인 연결자와 함께 자연스러운 가정 하에 다양한 실수 값 논리학에서 논리적 함의를 결정하기 위한 선형 프로그래밍 기반의 결정 절차를 제공하는 것.
• 특히 [0,1] 범위의 연속 진리값을 다루는 불확실성 추론의 공식화에서 오랫동안 존재해 온 격차를 메우는 것.

제안 방법

• 실수 값 공식을 포함하는 내부 계층(예: 'and'에 대한 & 기호, 'or'에 대한 ⊕ 기호)과 이 공식들의 진리값에 관한 고전적(0-1) 문장으로 구성된 외부 계층을 가진 이중 계층 논리 프레임워크를 도입한다.
• 모든 표준 실수 값 논리학(예: 루카시에비츠, 곱셈, 고델 논리학 포함)에 적용 가능한 매개변수화된, 타당하고 강한 완전성의 공리체계를 개발한다.
• 부분 공식에 영향 계수를 할당함으로써 영향력이 다른 구성 요소를 모델링할 수 있도록 공리체계를 확장하여, 신경망 스타일의 활성화 함수를 모델링할 수 있도록 한다.
• 연속적인 연결자를 갖는 논리학에 대해 유효한 결정 절차를 선형 프로그래밍 기반으로 제안하여, 외부 계층 문장 집합이 다른 문장을 논리적으로 함의하는지 여부를 판단한다.
• 이 프레임워크를 사용하여 LNN과 같은 시스템의 추론을 공식적으로 검증함으로써, 이러한 시스템에 대해 처음으로 논리적 타당성과 완전성을 증명한다.
• 흐린 논리학과 유리형 파벨카 논리학(RPL)의 기존 결과를 활용하여 제안된 체계의 일반성과 표현력의 타당성을 뒷받침하고 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 연결자와 가중치가 부여된 부분 공식을 모두 지원하는 실수 값 논리학에 대해 타당하고 강한 완전성의 공리체계를 개발할 수 있는가?
• RQ2 실수 값 공식에 대한 논리적 추론을 어떻게 공식화할 수 있는가? 이는 유한한 수의 공리로부터 모든 타당한 추론이 유도 가능하도록 해야 한다.
• RQ3 특히 루카시에비츠, 곱셈, 고델 논리학에 대해 자연스러운 가정 하에 실수 값 논리학에서 논리적 함의를 결정하기 위한 결정 절차는 무엇인가?
• RQ4 제안된 프레임워크는 기존의 신경-기호 시스템, 예를 들어 논리적 신경망(LNNs)의 정확성과 완전성을 증명하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 진리값의 구간이나 부등식과 같은 복잡한 진리값 제약 조건을 어느 정도 표현할 수 있으며, 그 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 실수 값 논리학의 광범위한 범주에 대해 타당하고 강한 완전성의 공리체계를 제시하며, 모든 논리적으로 타당한 추론이 공리로부터 도출될 수 있음을 보장한다.
• 이 프레임워크는 루카시에비츠, 곱셈, 고델 논리학을 포함한 모든 표준 실수 값 논리학을 커버할 수 있도록 매개변수화되어 있어 광범위하게 적용 가능하다.
• 가중치가 부여된 부분 공식으로의 확장은 LNN과 같은 시스템에서의 공식적 추론을 가능하게 하며, 이러한 시스템에 대해 처음으로 논리적 완전성의 증명을 제공한다.
• 연속적인 연결자를 갖는 다양한 실수 값 논리학에서 논리적 함의를 결정하기 위한 선형 프로그래밍 기반의 결정 절차가 개발되었다.
• 진리값의 구간(예: 'φ ≥ 0.5')과 같은 복잡한 제약 조건을 표현할 수는 있으나, 연속성 제약으로 인해 엄밀한 부등식 'φ > 0.5'는 표현할 수 없다.
• 결과적으로 이 연구는 LNN에 대해 처음으로 증명 가능하게 타당하고 완전한 논리적 추론 체계를 확립하며, 신경-기호 AI의 공식화에서 핵심적인 격차를 메운다.