[논문 리뷰] Four loop renormalization of phi^3 theory in six dimensions

J. A. Gracey|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 10.

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 $\overline{\mathrm{MS}}$ 스킴을 사용하여 6차원에서 $\phi^3$ 이론의 네 루프 반정규화 그룹 함수를 계산하여, 리-양 가장자리 특이성과 침투 문제에 대한 첫 번째 $O(\epsilon^4)$ 임계 지수 추정치를 가능하게 한다. $O(N)$ 대칭 이론을 네 루프까지 확장하고, 전체 질량 연산자 혼합 행렬을 계산하며, 고유값 지수들이 대규모-$N$ 결과와 일치함을 확인함으로써, 재수렴을 통해 3, 4, 5차원의 임계 차원에 대한 향상된 추정치를 제공한다.

ABSTRACT

We renormalize six dimensional phi^3 theory in the modified minimal subtraction (MSbar) scheme at four loops. From the resulting beta-function, anomalous dimension and mass anomalous dimension we compute four loop critical exponents relevant to the Lee-Yang edge singularity and percolation problems. Using resummation methods and information on the exponents of the relevant two dimensional conformal field theory we obtain estimates for exponents in dimensions 3, 4 and 5 which are in reasonable agreement with other techniques for these two problems. The renormalization group functions for the more general theory with an O(N) symmetry are also computed in order to obtain estimates of exponents at various fixed points in five dimensions. Included in this O(N) analysis is the full evaluation of the mass operator mixing matrix of anomalous dimensions at four loops. We show that its eigen-exponents are in agreement with the mass exponents computed at O(1/N^2) in the non-perturbative large N expansion.

연구 동기 및 목표

• 6차원에서 $\overline{\mathrm{MS}}$ 스킴 내에서 $\phi^3$ 이론의 네 루프 반정규화 그룹 함수를 계산하는 것.
• 임계 지수를 $d=3,4,5$에서 $O(\epsilon^4)$ $\epsilon$-전개를 사용하여 리-양 가장자리 특이성과 침투 문제에 대해 추정하는 것.
• 5차원에서 $O(N)$ 대칭 $\phi^3$ 이론으로 분석을 확장하고, 임계 지수의 전체 네 루프 질량 연산자 혼합 행렬을 계산하는 것.
• 네 루프 고유값 지수들이 대규모-$N$ 전개의 $O(1/N^2)$ 수준에서 일치하는지 확인하는 것.
• 미래의 다른 모델로의 확장을 위해 계산 프레임워크와 기본적인 네 루프 2점 함수 적분을 제공하는 것.

제안 방법

• 수정된 최소 제거($\overline{\mathrm{MS}}$) 스킴을 사용하여 6차원에서의 $\phi^3$ 이론의 네 루프 발산을 계산하는 것.
• 고급 다중루프 파인만 도형 기법과 기호 계산을 활용하여 네 루프에서의 질량이 없는 2점 함수를 평가하는 것.
• 임계 지수의 수렴성을 향상시키기 위해 제약 조건이 있는 패드 약분을 사용하여 $\epsilon$-전개 급수를 재수렴시키는 것.
• 전체 네 루프 질량 연산자 혼합 행렬을 계산하고 대각화하여 고유값 지수를 추출하는 것.
• 네 루프 고유값 지수들이 대규모-$N$ 결과의 $O(1/N^2)$ 수준과 일치하는지 확인하여 페르투브레이션 계산의 타당성을 검증하는 것.
• 2차원 CFT의 conformal field theory 자료를 활용하여 $d=3,4,5$에서 추정치를 제약하고 향상시키는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 6차원에서의 $\phi^3$ 이론에 대한 네 루프 $\beta$-함수, 이완성 차원, 질량 이완성 차원은 무엇인가?
• RQ2 리-양 가장자리 특이성과 침투 문제에 대한 $O(\epsilon^4)$ 임계 지수는 다른 방법과 비교해 볼 때 어떻게 되는가?
• RQ3 질량 혼합 행렬의 네 루프 고유값 지수는 대규모-$N$ 전개의 $O(1/N^2)$ 수준에서 일치하는가?
• RQ4 표현의 $\epsilon$-전개를 재수렴시키면 $d=3,4,5$에서 임계 지수에 신뢰할 수 있는 추정치를 얻을 수 있는가?
• RQ5 5차원에서의 $O(N)$ 대칭 $\phi^3$ 이론의 네 루프에서의 구조는 무엇이며, 임계 $N_{\mathrm{cr}}$는 얼마인가?

주요 결과

• 6차원에서의 $\overline{\mathrm{MS}}$ 스킴 내에서 $\phi^3$ 이론의 네 루프 $\beta$-함수, 이완성 차원, 질량 이완성 차원이 계산되었다.
• 리-양 가장자리 특이성의 임계 지수 $\sigma$는 $O(\epsilon^4)$ 수준에서 추정되었으며, $d=3,4,5$에서 다른 기법과 합리적인 일치를 보였다.
• $N=500$일 때, $\Delta_\phi$, $\Delta_\sigma$, $\Delta_+$, $\Delta_-$에 대한 $O(\epsilon^4)$ 급수가 계산되었으며, $\Delta_\sigma$는 질량 혼합 행렬의 $-$ 고유값 지수와 일치하였다.
• 질량 혼합 행렬의 네 루프 고유값 지수는 대규모-$N$ 결과의 $O(1/N^2)$ 수준과 일치하여, 페르투브레이션 계산의 타당성이 검증되었다.
• $N=1400$일 때, 임계 지수 $\Delta_\sigma$와 $\Delta_\phi$가 계산되었으며, $\Delta_\sigma$는 다시 $-$ 고유값 지수와 일치하였고, 모든 지수는 실수 그대로 유지되었다.
• $\Delta^{2}_{\sigma}$ 표현은 [28]에서의 인쇄 오류를 수정하였으며, 원래 식에서 $O(\epsilon)$ 항이 누락된 바가 있었다.