[논문 리뷰] Fourier analysis of sampling from noisy chaotic quantum circuits

Sergio Boixo, Vadim Smelyanskiy외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 06.

Neural Networks and Applications인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 노이즈가 있는 혼돈 양자 회로의 출력 분포의 푸리에 구조를 분석하여, 포터-톰슨 분포를 따르는 확률의 푸리에 성분이 평균 0, 표준편차 $ N^{-3/2} $ 를 가진 가우시안 분포를 따른다는 것을 보여주며, 다항시간 근사 알고리즘이 랜덤 추측을 능가하지 못함을 확인한다. 이는 다항시간 내에 랜덤 추측보다 우월한 성능을 내지 못함을 의미한다. 또한 노이즈가 있는 혼돈 회로가 균일 분포로 수렴함을 확인하여, 고전적 시뮬레이션은 랜덤 샘플링을 통해만 가능하며, 교차 엔트로피 기준검사가 근접한 양자 우월성 실험에 핵심 지표로 작용함을 검증한다.

ABSTRACT

Sampling from the output distribution of chaotic quantum evolutions, and of pseudo-random universal quantum circuits in particular, has been proposed as a prominent milestone for near-term quantum supremacy. The same paper notes that chaotic distributions are very sensitive to noise, and under quite general noise models converge to the uniform distribution over bit-strings exponentially in the number of gates. On the one hand, for increasing number of gates, it suffices to choose bit-strings at random to approximate the noisy distribution with fixed statistical distance. On the other hand, cross-entropy benchmarking can be used to gauge the fidelity of an experiment, and the distance to the uniform distribution. We estimate that state-of-the-art classical supercomputers would fail to simulate high-fidelity chaotic quantum circuits with approximately fifty qubits and depth forty. A recent interesting paper proposed a different approximation algorithm to a noisy distribution, extending previous results on the Fourier analysis of commuting quantum circuits. Using the statistical properties of the Porter-Thomas distribution, we show that this new approximation algorithm does not improve random guessing, in polynomial time. Therefore, it confirms previous results and does not represent an additional challenge to the suggested failure stated above.

연구 동기 및 목표

• 노이즈가 있는 혼돈 양자 회로의 출력 분포에서 푸리에 성분의 통계적 성질을 분석하는 것.
• 다항시간 근사 알고리즘이 노이즈가 있는 혼돈 분포에서 샘플링하는 데 있어 랜덤 추측을 능가할 수 있는지 평가하는 것.
• 근접한 양자 실험에 대해 교차 엔트로피 기준검사를 신뢰할 수 있는 정밀도 지표로 검증하는 것.
• 노이즈가 있는 혼돈 회로가 균일 분포로 수렴함을 확인하여, 점점 더 큰 근사한 근사에서 고전적 시뮬레이션이 랜덤 샘플링으로 충분함을 확인하는 것.

제안 방법

• 포터-톰슨 분포를 따르는 확률을 전제로 하여, 푸리에 계수 $ \hat{p}_{\rm PT}(s) $ 의 분포를 유도한다.
• 균일한 양자 상태를 힐베르트 공간에서 모델링하기 위해 랜덤 매트릭스 이론과 하르 측도를 사용한다.
• 델타 함수 제약 조건과 복소 가우시안 적분을 적용하여 비트스트링에 대한 부분합의 분포를 계산한다.
• 정규화 및 분자 적분을 평가하기 위해 해석적 계속을 사용한 윤곽선 적분을 수행한다.
• 부분합 $ u = \sum_{x \in S} p(x) $ 의 분포를 푸리에 성분 $ \hat{p}_{\rm PT}(s) $ 의 분포로 변환한다.
• 최종 분포를 점점 더 가우시안으로 근사하며, 분산 $ N^{-3} $ 을 얻고, 이로 인해 표준편차 $ N^{-3/2} $ 를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼돈 양자 회로의 출력 확률에서 푸리에 성분의 통계적 분포는 무엇인가? 이는 포터-톰슨 통계를 따르는가?
• RQ2 다항시간 고전 알고리즘이 노이즈가 있는 혼돈 양자 회로의 출력 분포를 더 효과적으로 근사할 수 있는가? 랜덤 샘플링보다 더 나은가?
• RQ3 노이즈가 있는 혼돈 회로가 균일 분포로 수렴함은 고전적 시뮬레이션 가능성을 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 교차 엔트로피 기준검사는 노이즈가 있는 양자 실험에서 정밀도와 균일도와의 거리 추정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 혼돈 양자 회로의 푸리에 구조는 더 효율적인 고전적 샘플링 알고리즘을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 포터-톰슨 분포를 따르는 확률의 푸리에 성분은 평균 0, 표준편차 $ N^{-3/2} $ 를 가진 가우시안 분포를 따른다. 여기서 $ N = 2^n $ 은 비트스트링의 수이다.
• 푸리에 계수의 분포는 점점 더 가우시안으로 수렴하며, 확률 밀도 함수는 약간의 근사로 $ \frac{N^{3/2}}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2} \hat{p}_{\rm PT}^2 N^3\right) $ 로 표현된다.
• 노이즈가 있는 혼돈 회로의 출력 분포를 근사하기 위한 다항시간 고전 알고리즘은 푸리에 구조를 더 효과적으로 활용하지 못하므로, 랜덤 추측을 능가하지 못한다.
• 노이즈가 있는 혼돈 회로의 출력 분포는 게이트 수에 따라 지수적으로 균일 분포로 수렴하며, 이는 점점 더 큰 근사에서 랜덤 샘플링이 고전적으로 충분함을 의미한다.
• 교차 엔트로피 기준검사는 근접한 양자 실험에서 정밀도와 균일도와의 거리 추정에 여전히 유효하고 강건한 지표로 남아 있다.
• 분석을 통해 고전적 슈퍼컴퓨터는 약 50 큐비트와 깊이 약 40인 고정밀도 혼돈 양자 회로를 시뮬레이션하는 데 실패할 것이며, 이는 양자 우월성 주장에 대한 지지를 제공한다.