[논문 리뷰] Fourier and Circulant Matrices are Not Rigid

Zeev Dvir, Allen P. Liu|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 19.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소수 또는 유한체 위의 푸리에 행렬과 순환행렬이 뚜렷하지 않음을 증명한다. 즉, 소수의 항목을 변경함으로써 그 질서가 크게 감소하지는 않는다. 저자들은 $G$-순환행렬이 임의의 아벨 군 $G$에 대해 $\mathbb{C}$ 또는 $\mathbb{F}_q$ 위에서 $\gcd(|G|,q)=1$일 때도 뚜렷하지 않음을 보여주며, 발리언트의 산술 회로 하한선 접근법에서의 응용을 약화시킨다.

ABSTRACT

The concept of matrix rigidity was first introduced by Valiant in 1977. Roughly speaking, a matrix is rigid if its rank cannot be reduced significantly by changing a small number of entries. There has been extensive interest in rigid matrices as Valiant showed in his MFCS'77 paper that rigidity can be used to prove arithmetic circuit lower bounds. In a surprising result, Alman and Williams (FOCS'19) showed that the (real valued) Hadamard matrix, which was conjectured to be rigid, is actually not very rigid. This line of work was extended by Dvir and Edelman (\emph{Theory of Computing}, 2019) to a family of matrices related to the Hadamard matrix, but over finite fields. In our work, we take another step in this direction and show that for any abelian group $G$ and function $f:G ightarrow \mathbb{C}$, the matrix given by $M_{xy} = f(x - y)$ for $x,y \in G$ is not rigid. In particular, we get that complex valued Fourier matrices, circulant matrices, and Toeplitz matrices are all not rigid and cannot be used to carry out Valiant's approach to proving circuit lower bounds. Our results also hold when we consider matrices over a fixed finite field instead of the complex numbers. This complements a recent result of Goldreich and Tal (\emph{Comp. Complexity}, 2018) who showed that Toeplitz matrices are nontrivially rigid (but not enough for Valiant's method). Our work differs from previous non-rigidity results in that those works considered matrices whose underlying group of symmetries was of the form $\mathbb{F}_p^n$ with $p$ fixed and $n$ tending to infinity, while in the families of matrices we study, the underlying group of symmetries can be any abelian group and, in particular, the cyclic group $\mathbb{Z}_N$, which has very different structure. Our results also suggest natural new candidates for rigidity in the form of matrices whose symmetry groups are highly non-abelian.

연구 동기 및 목표

• 푸리에 행렬과 순환행렬이 뚜렷하다는 오랜 동안의 추측을 해결함으로써, 발리언트의 방법을 통한 새로운 산술 회로 하한선을 가능하게 하려는 것.
• 이전에 $\mathbb{Z}_p^n$-대칭 행렬에 국한된 비뚜렷성 결과를 임의의 아벨 군으로 확장하여 순환군 $\mathbb{Z}_N$ 포함.
• 비아벨 군 대칭성이 $G$-순환행렬에서 뚜렷한 행렬을 유도할 수 있는지 조사하여, 새로운 회로 하한선 후보를 제안하는 것.
• 유한체에서 $\gcd(|G|,q)=1$ 조건 하에 뚜렷성 분석을 수행하여, 복소수 행렬 결과를 계산 복잡도에 관련된 대수적 구조로 일반화하는 것.
• 아벨 대칭 구조를 가진 행렬의 뚜렷성 기반 복잡도 이론에서의 구조적 한계를 규명하고, 비아벨 군이 뚜렷성의 잠재적 원천이 될 수 있음을 제안하는 것.

제안 방법

• 임의의 유한 아벨 군 $G$에 대해 $M_{xy} = f(x - y)$ 를 만족하는 $f: G \to \mathbb{C}$ 를 이용해 $G$-순환행렬 정의.
• 아벨 군 위의 군 대수 분해와 푸리에 분석을 활용해 푸리에 변환을 통해 $G$-순환행렬을 대각화.
• $\gcd(|G|,q)=1$ 조건 하에서 $G$-순환행렬이 $\mathbb{F}_q$ 위에서 약분 가능성을 분석하기 위해 갈루아 이론과 유한체의 구조 이론 적용.
• $r = |G| / \exp(\epsilon^8 (\log |G|)^{0.32})$ 및 $s = |G|^{19\epsilon}$ 를 만족하는 $(r,s)$-가소성 증명을 통해 비뚜렷성 입증.
• $G$를 순환군의 곱으로 표현하고 재귀적 분해를 활용해 랭크를 낮추기 위해 필요한 항목 수의 상한을 도출.
• DFT 행렬과 일반화된 월리스–하다마르드 행렬이 $G$-순환형으로 환원됨을 증명하여 비뚜렷성 입증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 유한 아벨 군 $G$에 대해 $\mathbb{C}$ 또는 $\mathbb{F}_q$ 위의 $G$-순환행렬은 뚜렷한가?
• RQ2 $\mathbb{Q}$ 또는 코시클로omic 체 위에서 $G$-순환행렬은 발리언트-뚜렷한가?
• RQ3 $\gcd(|G|,q) > 1$ 조건 하에서 유한체 위에서 $G$-순환행렬은 여전히 비뚜렷한가?
• RQ4 $SL_2(\mathbb{F}_p)$ 와 같은 비아벨 군이 복소수 위에서 뚜렷한 $G$-순환행렬을 유도할 수 있는가?
• RQ5 아벨 군 대칭과 비아벨 군 대칭 간의 뚜렷성에서 구조적 차이가 존재하는가?

주요 결과

• 모든 유한 아벨 군 $G$에 대해 $G$-순환행렬은 $\mathbb{C}$ 위에서 뚜렷하지 않으며, 단지 $|G|^{100\epsilon}$개의 항목을 변경함으로써 낮은 랭크로 줄일 수 있다.
• 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해 $G$-순환행렬의 뚜렷성은 $\textsf{r}_M^{\mathbb{C}}\left(\frac{|G|}{\exp(\epsilon^{20}(\log|G|)^{0.3})}\right) \leq |G|^{100\epsilon}$ 를 만족하며, 이는 비뚜렷성을 증명한다.
• DFT 행렬과 일반화된 월리스–하다마르드 행렬은 $\mathbb{C}$ 위에서 비뚜렷하다. 잘 분해 가능한 크기이더라도 $G$-순환행렬의 구조로 인해 그렇다.
• 복소수 또는 유한체 위에서의 순환행렬과 토플리츠 행렬은 발리언트의 회로 하한선 방법에 충분히 뚜렷하지 않다.
• $\gcd(|G|,q)=1$ 조건 하에서 유한체 $\mathbb{F}_q$ 위에서 $G$-순환행렬 역시 비뚜렷하며, 항목 변경을 통한 랭크 감소에 대해 유사한 상한이 존재한다.
• 결과는 $SL_2(\mathbb{F}_p)$ 와 같이 매우 비아벨적인 군이 뚜렷한 $G$-순환행렬을 유도할 수 있음을 시사하며, $SL_2(\mathbb{F}_p)$ 위에서 임의의 $\{0,1\}$-값을 가진 $G$-순환행렬이 높은 확률로 발리언트-뚜렷하다는 추측을 제기한다.