[논문 리뷰] Fourier Cosine and Sine Transform on fractal space

Guang-Sheng Chen|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 21.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소 분수 미적분학을 활용하여 분수 차원 α를 가진 분수 공간에서 국소 분수 코시누 및 사인 변환을 도입하며, 기존의 변환을 연속적인 분수 함수를 다룰 수 있도록 확장한다. 파르세발 항등식 및 컨볼루션 정리와 같은 핵심 성질을 수립하고, 국소 분수 미분방정식을 해결하는 데 응용하여, 미트아그-레플러 함수로 표현된 해를 가진 2차 국소 분수 상미분방정식을 통해 방법의 유효성을 입증한다.

ABSTRACT

In this paper, we establish local fractional Fourier Cosine and Sine Transforms on fractal space, considered some properties of local fractional Cosine and Sine Transforms, show applications of local fractional Fourier Cosine and Sine transform to local fractional equations with local fractional derivative.

연구 동기 및 목표

• 국소 분수 미적분학을 활용하여 차원 α를 가진 분수 집합에서 국소 분수 코시누 및 사인 변환을 개발한다.
• 이 변환에 대한 기본 성질, 예를 들어 파르세발 항등식, 컨볼루션 정리 및 역변환 공식을 수립한다.
• 국소 분수 도함수를 포함하는 국소 분수 미분방정식을 해결하는 데 변환을 적용한다.
• 특정 국소 분수 상미분방정식의 해석적 해를 통해 변환의 유용성을 입증한다.

제안 방법

• 분수 집합에서 코시누 및 사인 함수의 짝함수 및 홀함수 성질을 활용하여 국소 분수 코시누 및 사인 적분 공식을 유도한다.
• 적분식을 통해 국소 분수 코시누 변환을 정의한다: $ F_{\alpha,c}\{f(x)\} = \frac{2}{\Gamma(1+\alpha)}\int_0^\infty f(x)\cos_\alpha(\omega^\alpha x^\alpha)(dx)^\alpha $.
• 역 국소 분수 코시누 변환을 다음과 같이 정의한다: $ f(x) = \frac{2}{(2\pi)^\alpha}\int_0^\infty f_{\omega,c}^{F,\alpha}(\omega)\cos_\alpha(\omega^\alpha x^\alpha)(d\omega)^\alpha $.
• 2차 국소 분수 미분방정식과 초기 조건을 해결하기 위해 국소 분수 사인 변환을 적용한다.
• 국소 분수 사인 변환의 선형성 및 변환 규칙을 활용하며, 특별히 항등식 $ F_{\alpha,s}\{y^{(2\alpha)}(t)\} = -\omega^{2\alpha}F_{\alpha,s}\{y(t)\} + 2\omega^\alpha y(0) $ 를 사용한다.
• 부분분수 분해와 역변환을 활용하여 해를 미트아그-레플러 함수의 형태로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 분수 미적분학을 활용하여, 분수 차원 α를 가진 분수 집합에서 정의된 함수에 대해 고전적 코시누 및 사인 변환을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 국소 분수 코시누 및 사인 변환의 기본 성질, 예를 들어 파르세발의 항등식 및 컨볼루션 정리는 무엇인가?
• RQ3 국소 분수 사인 변환은 국소 분수 도함수를 포함하는 국소 분수 미분방정식을 효과적으로 해결하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ4 국소 분수 사인 변환 방법을 사용하여 2차 국소 분수 상미분방정식의 해석적 해는 무엇인가?

주요 결과

• 국소 분수 코시누 변환은 $ F_{\alpha,c}\{f(x)\} = \frac{2}{\Gamma(1+\alpha)}\int_0^\infty f(x)\cos_\alpha(\omega^\alpha x^\alpha)(dx)^\alpha $ 로 정의되며, 이에 해당하는 역변환 공식이 존재한다.
• 함수 $ E_\alpha(-at^\alpha) $ 의 국소 분수 사인 변환은 $ \frac{2\omega^\alpha}{a^2 + \omega^{2\alpha}} $ 이고, 코시누 변환의 경우 $ \frac{2a}{a^2 + \omega^{2\alpha}} $ 이다.
• 국소 분수 사인 변환에 대한 파르세발 항등식은 $ \int_0^\infty |f_{\omega,s}^{F,\alpha}(\omega)|^2 (d\omega)^\alpha = \frac{(2\pi)^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)} \int_0^\infty |f(x)|^2 (dx)^\alpha $ 로 표현된다.
• 국소 분수 코시누 변환에 대한 컨볼루션 정리는 $ \int_0^\infty f_{\omega,s}^{F,\alpha}(\omega)g_{\omega,s}^{F,\alpha}(\omega)\cos_\alpha(\omega^\alpha x^\alpha)(d\omega)^\alpha = \frac{(2\pi)^\alpha}{2\Gamma(1+\alpha)} \int_0^\infty f(\xi)[g(\xi+x)+g(\xi-x)](d\xi)^\alpha $ 로 기술된다.
• 초기 조건 $ y(0) = y_0 $ 를 가진 국소 분수 상미분방정식 $ y^{(2\alpha)} - 9y(t) = 50E_\alpha(-2t^\alpha) $ 의 해는 $ y(t) = (y_0 + 10)E_\alpha(-3t^\alpha) - 10E_\alpha(-2t^\alpha) $ 로 표현된다.
• 변환 도메인에서 미분방정식을 대수방정식으로 변환한 후, 알려진 변환 쌍을 사용하여 역변환을 수행함으로써 방법이 성공적으로 미분방정식을 해결하였다.