[논문 리뷰] Fourier-Mukai transform of vector bundles on surfaces to Hilbert scheme

Indranil Biswas, D. S. Nagaraj|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 대수적으로 닫힌 체 위의 매끄럽고 사영인 표면 S 위의 벡터(bundle)에서 그 길이 d인 부분스킴의 Hilbert 스킴으로의 Fourier-Mukai 변환이 단사임을 증명한다. 일반적인 선형계의 곡선으로의 제한과 Harder-Narasimhan 필터링 분석을 통해, Hilbert 스킴 상의 변환된 벡터(bundle)들의 동형이 S 상의 원래 벡터(bundle)들의 동형을 암시함을 증명하며, 이는 이전의 K3 및 아벨 표면에 대한 결과를 임의의 매끄러운 표면으로 일반화한다.

ABSTRACT

Let $S$ be an irreducible smooth projective surface defined over an algebraically closed field $k$. For a positive integer $d$, let ${ m Hilb}^d(S)$ be the Hilbert scheme parametrizing the zero-dimensional subschemes of $S$ of length $d$. For a vector bundle $E$ on $S$, let ${\mathcal H}(E)\, \longrightarrow\, { m Hilb}^d(S)$ be its Fourier--Mukai transform constructed using the structure sheaf of the universal subscheme of $S imes { m Hilb}^d(S)$ as the kernel. We prove that two vector bundles $E$ and $F$ on $S$ are isomorphic if the vector bundles ${\mathcal H}(E)$ and ${\mathcal H}(F)$ are isomorphic.

연구 동기 및 목표

• 매끄럽고 사영인 표면 S 위의 벡터(bundle)에서 그 길이 d인 부분스킴의 Hilbert 스킴으로의 Fourier-Mukai 변환이 단사인지 여부를 규명하는 것.
• 이전의 K3 및 아벨 표면에 대한 결과를 대수적으로 닫힌 체 위의 임의의 매끄러운 사영 표면으로 일반화하는 것.
• Hilbert 스킴 상의 변환된 벡터(bundle)들의 동형이 S 상의 원래 벡터(bundle)들의 동형을 암시함을 확립하는 것.
• 선형계 내의 일반적인 곡선으로의 제한을 통해 문제를 곡선 위의 벡터(bundle)로 축소하는 것.

제안 방법

• 일반적인 부분스킴 Z ⊂ S × Hilb^d(S)를 커널로 사용하여 Hilb^d(S) 상의 Fourier-Mukai 변환 H(E)를 구성한다.
• S × Hilb^d(S) → Hilb^d(S)인 사영 γ와 S × Hilb^d(S) → S인 사영 β를 사용하여 H(E) = γ_* (O_Z ⊗ β^*E)로 정의한다.
• S 상의 앰플라인 선다발 L에 대해 일반적인 매끄러운 곡선 C ∈ |L^n|으로 변환을 제한하여 문제를 Sym^d(C)의 대칭곱으로 축소한다.
• 대각선 매핑 φ: C → Sym^d(C)에 의한 당김 φ^*H(E)를 분석하며, 이는 K_C의 거듭제곱으로 변형된 E의 편승을 포함하는 필터링을 갖는다.
• φ^*H(E)와 φ^*H(F)의 Harder-Narasimhan 필터링을 비교하여 일반적인 C에 대해 제한된 벡터(bundle) ι^*E와 ι^*F의 동형을 유도한다.
• 코homological 소멸성과 제한 사상의 상사성 조건을 이용하여 C 상의 동형을 S 상으로 끌어올려, 결정선다발의 고려를 통해 E ≅ F임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄럽고 사영인 표면 S 위의 벡터(bundle)에서 Hilb^d(S)로의 Fourier-Mukai 변환이 단사인가?
• RQ2 Hilbert 스킴 상에서 변환된 벡터(bundle) H(E)와 H(F)가 동형이라면, S 상의 원래 벡터(bundle) E와 F도 동형인가?
• RQ3 이 단사성 결과는 K3 및 아벨 표면을 초월하여 대수적으로 닫힌 체 위의 임의의 매끄러운 사영 표면으로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 당김 φ^*H(E)의 Harder-Narasimhan 필터링은 S 상의 원래 벡터(bundle) E에 대한 정보를 어느 정도 암시하는가?
• RQ5 |L^n| 내의 일반적인 곡선의 종수는 제한된 벡터(bundle) ι^*E의 안정성 성질에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• H: Vect(S) → Vect(Hilb^d(S))인 Fourier-Mukai 변환은 단사적이다: E ≅ F iff H(E) ≅ H(F).
• n ≥ ℓ인 일반적인 매끄러운 곡선 C ∈ |L^n|에 대해, H(E) ≅ H(F)이면 제한 ι^*E와 ι^*F도 동형이다.
• |L^n| 내의 일반적인 곡선의 종수는 n에 대해 이차적으로 증가하며, 이는 큰 n에 대해 μ_max − μ_min < 2(genus − 1) 조건이 성립함을 보장한다.
• 큰 n에 대해 H^0(S, F ⊗ E^*) → H^0(C, (F ⊗ E^*)|_C)인 제한 사상은 상사적이다. 이는 C 상에서의 동형을 S 상으로 끌어올리는 데 가능하게 한다.
• 끌어올린 준동형사상 ̃I의 결정식은 동형사상이며, 이는 ̃I가 동형임을 의미하므로 E ≅ F이다.
• 핵심 단계는 D(̃I) = 0(기저가 없음)라는 점인데, C가 앰플라이어므로 D(̃I) ∩ C = ∅이므로 ̃I가 반드시 동형이 되도록 강제된다.