[논문 리뷰] Fourier reconstruction for diffraction tomography of an object rotated into arbitrary orientations

Clemens Kirisits, Michael Quellmalz외 4명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 16.

Digital Holography and Microscopy참고 문헌 35인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 임의의 자세로 트랩에 갇힌 강체 입자가 회전할 때, 광학 회절 단층촬영(ODT)을 위한 새로운 푸리에 재구성 방법을 제안한다. 알려진 운동 파ameters를 활용하고, 보른 또는 리토프 근사 하에서 푸리에 회절 정리의 엄밀한 분포적 공식을 적용함으로써, 비균일 이산 푸리에 변환을 사용한 효율적인 3차원 재구성에 가능한 역백프로젝션 공식을 유도한다. 이는 비균일한 샘플링과 복잡한 운동 조건에서도 '누락 원추 문제'를 효과적으로 해결한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the mathematical imaging problem of optical diffraction tomography (ODT) for the scenario of a microscopic rigid particle rotating in a trap created, for instance, by acoustic or optical forces. Under the influence of the inhomogeneous forces the particle carries out a time-dependent smooth, but complicated motion described by a set of affine transformations. The rotation of the particle enables one to record optical images from a wide range of angles, which largely eliminates the "missing cone problem" in optics. This advantage, however, comes at the price that the rotation axis in this scenario is not fixed, but continuously undergoes some variations, and that the rotation angles are not equally spaced, which is in contrast to standard tomographic reconstruction assumptions. In the present work, we assume that the time-dependent motion parameters are known, and that the particle's scattering potential is compatible with making the first order Born or Rytov approximation. We prove a Fourier diffraction theorem and derive novel backprojection formulae for the reconstruction of the scattering potential, which depends on the refractive index distribution inside the object, taking its complicated motion into account. This provides the basis for solving the ODT problem with an efficient non-uniform discrete Fourier transform.

연구 동기 및 목표

• 강체 입자가 트랩에 갇혀 비균일하고 시간에 따라 변화하는 운동을 할 때, 광학 회절 단층촬영(ODT)에서 3차원 굴절률 재구성 문제를 해결한다.
• 기존 ODT에서 발생하는 '누락 원추 문제'를 해결하기 위해, 입자의 회전으로 인한 광역도 샘플링을 활용하되, 축과 각도가 비균일하게 분포된 경우에도 적용 가능하도록 한다.
• 이미징 중 입자가 겪는 임의의 애핀 변환(회전 및 이동)을 고려한, 푸리에 기반 재구성에 대한 수학적으로 엄밀한 프레임워크를 개발한다.
• 비균일한 샘플링과 비균일한 운동에 적합한, 분포적 형태의 푸리에 회절 정리 공식을 수립하여 안정적이고 정확한 재구성을 가능하게 한다.
• 복잡하고 시간에 따라 변화하는 입자 운동이 존재하는 조건에서, 역비균일 이산 푸리에 변환(NDFT)을 효율적으로 사용한 수치적 재구성의 기초를 제공한다.

제안 방법

• 약한 산란 입자를 가정하고, 첫 번째 순서의 보른 또는 리토프 근사를 사용하여 산란 문제를 선형화하는 전방 모델을 수립한다.
• 측정된 산란장을 산란 잠재력의 3차원 푸리에 변환과 연결하는 엄밀한 분포적 형태의 푸리에 회절 정리를 도출한다.
• 시간에 따라 변화하는 입자 운동을 애핀 변환을 통해 산란 잠재력에 통합한 k공간(푸리에 공간)에서의 역백프로젝션 공식을 제안한다.
• 푸리에 도메인에서의 비균일 샘플링을 고려하기 위해, k공간에서 물리적 측정 좌표계로의 변환에 대한 자코비안 행렬식을 유도하여, 비균일하게 분포된 데이터로부터 정확한 재구성을 가능하게 한다.
• 반복적 정규화나 반복 최적화를 필요로 하지 않는 효율적인 수치적 재구성을 위해, 역비균일 이산 푸리에 변환(NDFT)의 사용을 제안한다.
• 르베그의 우세 수렴 정리와 소볼레프 임bedding 정리를 사용하여, 근사 수열의 극한에서 재구성 공식의 수렴성을 증명함으로써 수학적 안정성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입자가 비균일하고 시간에 따라 변화하는 운동을 하며 트랩에 갇혀 있을 때, 비균일하게 샘플링된 시야 각도에서, 강체로 회전하는 입자의 3차원 산란 잠재력은 어떻게 광학 회절 데이터로부터 재구성할 수 있는가?
• RQ2 광학 회절 단층촬영에서, 입자의 운동이 임의의 시간에 따라 변화하는 경우(애핀 변환 기반), 푸리에 회절 정리의 수학적 공식은 어떻게 수립되는가?
• RQ3 비균일한 샘플링 조건에서 수학적 엄밀성과 안정성을 확보하기 위해, 분포적 설정에서의 역백프로젝션 공식은 어떻게 도출되는가?
• RQ4 k공간에서 물리적 좌표계로의 변환에 대한 자코비안 행렬식은 비균일하게 샘플링된 데이터로부터 정확한 재구성을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 역비균일 이산 푸리에 변환(NDFT)은 반복 정규화나 반복 최적화 없이 산란 잠재력을 효과적으로 재구성하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 시간에 따라 변화하는 입자 운동 조건 하에서, 광학 회절 단층촬영에 대한 엄밀한 분포적 형태의 푸리에 회절 정리를 수립하여, 비균일하게 샘플링된 데이터로부터의 재구성을 가능하게 하였다.
• 이론적으로 입자가 이미징 중에 겪는 시간에 따라 변화하는 애핀 변환(회전 및 이동)의 전반적인 복잡성을 반영한, k공간에서의 명시적 역백프로젝션 공식을 도출하였다.
• k공간에서 물리적 좌표계로의 변환에 대한 자코비안 행렬식을 닫힌 형태로 유도하였으며, 국소적으로 적분 가능하고 유계임을 보여, 재구성 과정의 수학적 타당성을 보장하였다.
• 근사 수열의 극한에서 재구성 방법이 안정적이고 수렴함을 입증하였으며, 이는 르베그의 우세 수렴 정리와 소볼레프 임bedding 정리를 통해 증명되었다.
• 제안된 방법은 반복 정규화나 전체 파동형상 역산을 필요로 하지 않고도, 역비균일 이산 푸리에 변환(NDFT)을 사용하여 효율적인 3차원 재구성을 가능하게 하였다.
• 입자의 회전으로 인한 광역도 샘플링을 통해, 축과 각도가 균일하게 분포하지 않은 경우에도 ODT에서 발생하는 '누락 원추 문제'를 성공적으로 완화하였다.