[논문 리뷰] Fourth order finite difference methods for the wave equation with mesh refinement interfaces

Siyang Wang, N. Anders Petersson|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 12.

Numerical methods in engineering참고 문헌 31인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 메쉬 다운샘플링 인터페이스를 갖는 파동방정식에 대해 사영합성분(SBP) 연산자를 사용한 네째차 정확도를 갖는 유한차법을 제시한다. 기존의 SBP 연산자와 고스트 포인트를 사용하지 않는 SBP 연산자 간의 새로운 관계를 활용하여, 인터페이스의 한쪽 측면에서만 고스트 포인트를 사용하는 새로운 SBP-GP 방법을 개발하였다. 이는 시스템 크기를 줄이고 조건수를 개선하면서도 네째차 정확도와 에너지 안정성을 유지한다. 이 방법은 페널티 기반 접근법보다 더 큰 시간 스텝을 허용한다.

ABSTRACT

We analyze two types of summation-by-parts finite difference operators for approximating the second derivative with variable coefficient. The first type uses ghost points, while the second type does not use any ghost points. A previously unexplored relation between the two types of summation-by-parts operators is investigated. By combining them we develop a new fourth order accurate finite difference discretization with hanging nodes on the mesh refinement interface. We take the model problem as the two-dimensional acoustic wave equation in second order form in terms of acoustic pressure, and prove energy stability for the proposed method. Compared to previous approaches using ghost points, the proposed method leads to a smaller system of linear equations that needs to be solved for the ghost point values. Another attractive feature of the proposed method is that the explicit time step does not need to be reduced relative to the corresponding periodic problem. Numerical experiments, both for smoothly varying and discontinuous material properties, demonstrate that the proposed method converges to fourth order accuracy. A detailed comparison of the accuracy and the time-step restriction with the simultaneous-approximation-term penalty method is also presented.

연구 동기 및 목표

• 비균일한 카르테시안 메쉬에 있는 허니컴 노드를 갖는 파동방정식에 대해 고차 정확도와 에너지 안정성을 갖는 유한차법을 개발한다.
• 메쉬 다운샘플링 인터페이스의 한쪽 측면에서만 고스트 포인트를 사용하여 고스트 포인트 업데이트의 계산 비용을 줄인다.
• 고스트 포인트를 사용하는 SBP 연산자와 사용하지 않는 SBP 연산자 간의 이론적 연결 고리를 확립하여 더 나은 이산화 설계를 가능하게 한다.
• 부드러운 물성과 불연속적인 물성 모두에 대해 네째차 수렴성을 확보한다.
• 새로운 SBP-GP 방법과 기존의 SBP-SAT(페널티) 방법 간의 효율성과 안정성 비교를 수행한다.

제안 방법

• 에너지 안정성을 확보하기 위해 사영합성분(SBP) 성질을 갖는 네째차 정확도의 SBP 유한차 이산화를 사용한다.
• 해상도 인터페이스의 거친 측면에서만 고스트 포인트를 사용하는 새로운 SBP-GP 수식을 개발하여 선형 시스템의 미지수 수를 줄였다.
• 이전에 탐색되지 않은 수학적 관계를 통해 고스트 포인트를 사용하는 SBP 연산자와 사용하지 않는 SBP 연산자를 조합하여 한쪽 측면의 고스트 포인트 처리를 가능하게 하였다.
• 인터페이스 조건은 보간 및 제한 스텐실을 사용하여 강하게 강제하며, 이는 네째차 정확도를 유지한다.
• 이 방법은 두 차원으로 확장되었으며, 압력에 대한 두 번째 차수 파동방정식을 사용하여 검증되었다.
• 안정성을 증명하기 위해 이산 에너지 추정식을 유도하였으며, 시간 스텝 제약이 주기적 문제의 본 네만 한계에 매우 가까운 것으로 나타났다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메쉬 다운샘플링 인터페이스를 갖는 파동방정식에 대해 한쪽 측면의 고스트 포인트만을 사용하는 네째차 정확도의 SBP 유한차법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 고스트 포인트를 사용하는 SBP 연산자와 사용하지 않는 SBP 연산자 간의 관계는 무엇이며, 이를 통해 정확도와 효율성을 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 새로운 SBP-GP 방법의 안정성과 수렴 속도는 부드러운 물성과 불연속적인 물성 모두에서 기존의 SBP-SAT(페널티) 방법과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 허니컴 노드가 있는 비주기적 문제에서 새로운 방법은 본 네만 한계에 가까운 큰 시간 스텝 제약을 유지하는가?
• RQ5 제안된 방법은 고차 정확도 및 실제 지형을 고려한 3차원 문제로 확장 가능한가?

주요 결과

• 수치 실험을 통해 제안된 SBP-GP 방법이 부드러운 물성과 불연속적인 물성 모두에서 네째차 수렴성을 확보함을 확인하였다.
• 두 측면의 고스트 포인트를 사용하는 방법에 비해 고스트 포인트 업데이트를 위한 선형 시스템이 더 작고 조건수가 더 좋은 편이다.
• 새로운 SBP-GP 방법의 시간 스텝 제약은 해당 주기적 문제의 본 네만 한계에 매우 가까운 것으로 나타나 효율적인 시간 적분이 가능하다.
• 반면, SBP-SAT 방법은 페널티 매개수에 따라 더 작은 시간 스텝이 필요하며, 수정되지 않은 경우에만 세 번째차 수렴성을 보인다.
• 두 가지 개선된 조치를 적용한 개선된 SBP-SAT 방법은 네째차 수렴성을 달성하지만, 동일한 메쉬와 시간 스텝에서 SBP-GP 방법보다 더 큰 해 오차를 보인다.
• 새로운 SBP-GP 방법은 에너지 안정성을 유지하며, 부분 영역이 불연속성과 일치할 경우에도 불연속적인 물성 인터페이스에서 고차 정확도를 유지한다.